Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 4

[Eray]

$d(a)$ ile $a$ pozitif tam sayısının farklı asal bölenlerinin sayısını gösterelim. Her $n$ pozitif tam sayısı için $k-m=n$ ve $d(k)-d(m)=1$ şartlarını sağlayan $k,m$ pozitif tam sayılarının bulunabileceğini gösteriniz.

(Şahin Emrah)

[Metin Can Aydemir]

$i)$ $n$ tek ise, $m=n$ ve $k=2n$ için şartın sağlanacağı açıktır.

$ii)$ $n$ çift ise, $n$'nin en büyük asal böleni $p$ olsun.

$iia)$ Her $q<p$ asal sayısı için $q\vert n$ ise $p$'den büyük en küçük asal sayı $r$ olsun. $p<r<2p$'dir.(Bertrand Postulatı) Dolayısıyla $r-1$ sayısının tüm asal bölenleri $p$'den küçüktür veya eşittir ve $n$'yi böler.$k=n\cdot r$ ve $m=n\cdot (r-1)$ seçersek, $d(k)=d(n)+1$ ve $d(m)=d(n)$ bulunur yani şart sağlanır.

$iib)$ En az bir $q<p$ asal sayısı için $q \nmid n$ ise,  $n$'yi bölmeyen en küçük asal $r$ olsun, $r<p$'dir. $r-1$'in tüm asal bölenleri $n$'yi böler.Eğer $k=n\cdot r$ ve $m=n\cdot (r-1)$ seçersek, $d(k)=d(n)+1$ ve $d(m)=d(n)$ bulunur yani şart sağlanır.