Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 07

[Lokman Gökçe]

$n_1,n_2,\dots, n_{2018}$ tam sayılar olmak üzere $$ n_1^2+n_2^2+\cdots+ n_{2018}^2 +4036 = 3(n_1+n_2+\dots+ n_{2018}) $$ eşitliğini sağlıyorsa, $ n_1^2+n_2^2+\dots + n_{2018}^2$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2019  \qquad\textbf{c)}\ 6055 \qquad\textbf{d)}\ 2^{2018} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Eşitlikte sağ tarafı sola atarsak, $$\sum_{k=1}^{2018} (n_k-1)(n_k-2)=0$$ bulunur. $f(n)=(n-1)(n-2)$ fonksiyonu sadece $(1,2)$ aralığında negatif olduğu için her $n$ tamsayısı için $(n-1)(n-2) \geq 0$ 'dir.
Dolayısıyla $\sum_{k=1}^{2018} (n_k-1)(n_k-2)=0$ olması için her $k$ için $n_k=1$ veya $n_k=2$ olması gerekir. $n_k=1$ olan $k$ sayısı $2019$ farklı değer alabileceğinden $ n_1^2+n_2^2+\dots + n_{2018}^2$ toplamı $2019$ farklı değer alabilir.