Dizi - en küçük k {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (İlham Aliyev): $(a_n)$ dizisi, $a_n=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}$, $(n=2,3,4,\dots)$ şeklinde tanımlansın. $a_2\cdot a_3 \cdot a_4 \cdots a_k > 25$ eşitsizliğini sağlayan en küçük $k$ tamsayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 95 \qquad\textbf{b)}\ 96 \qquad\textbf{c)}\ 97 \qquad\textbf{d)}\ 98 \qquad\textbf{e)}\ 99 $

[Arman]

Yanıt: $\boxed{D}$

$a_n=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\cdot \left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)=\dfrac{(n-1)\cdot(n+1)^2}{n^3}$


$a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdots a_k=\dfrac{1\cdot 3^2}{2^3}\cdot\dfrac{2\cdot 4^2}{3^3}\cdot \dfrac{3.5^2}{4^3}\cdots \dfrac{(k-3)\cdot (k-1)^2}{(k-2)^3}\cdot \dfrac{(k-2)\cdot k^2}{(k-1)^3}\cdot \dfrac{(k-1)\cdot (k+1)^2}{k^3}=\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{k}\cdot(k+1)^2$


$\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{k}\cdot (k+1)^2\gt25 \Longrightarrow k^2+2k+1\gt100k \Longrightarrow k^2-98k+1\gt0$


$(k^2-98k+7^4)-7^4+1\gt0\Longrightarrow(k-7^2)^2\gt(7^2)^2-1$


$k-7^2\ge7^2 \Longrightarrow k_{\min}=98$.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler Arman,

Son adımı biraz daha hızlandırabiliriz: $k^2-98k+1\gt0$ eşitsizliğini $k(k-98) \gt -1$ biçiminde yazarsak $k \ge 98$ elde ederiz. İyi çalışmalar.