Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2000 Soru 3

[ERhan ERdoğan]

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere, bir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu her gerçel $x,y$ için $$f(x)f(y)-af(xy)=x+y$$ eşitliğini sağlıyor. $a$ nın alabileceği tüm değerleri bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE):

$f(x)f(y)-af(xy)=x+y$ denkleminde $x=y=0$ koyarsak $f^2(0)=af(0)$ olur. Bu durumda $f(0)=0$ veya $f(0)=a$ dır. Eğer $f(0)=0$ olsa, denklemde $y=0$ yazarak $f(x)f(0)-af(0)=x$ ve buradan her $x$ için $x=0$ olduğu çelişkisini elde ederiz. O halde $f(0)=a \neq 0$ dır. Buna göre denklemde $y=0$ koyarsak $af(x)-a^2=x$ olup $f(x)=\dfrac{x}{a}+a$ elde edilir. Şimdi $f$ nin bu ifadesini de fonksiyonel denklemde yazalım:

$$\left( \dfrac{x}{a}+a \right)\left( \dfrac{y}{a}+a \right)-a\left( \dfrac{xy}{a}+a \right) =x+y $$

olup düzenlenirse $a^2xy =xy$ elde edilir. Buradan $a^2=1$ olup $a=1$ veya $a=-1$ değerlerini alabilir.

Hatırlatma: Verilen fonksiyonel denklemin tüm çözümlerinin iki tane olduğunu ve bunların da $f(x)=x+1$ ile $f(x)=-x-1$ olduğunu bulmuş olduk.