(Mehmet KAYSİ)
$\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{a^2c^2}{b^3(c^2-ac+a^2)}=S$ olsun.
$S \geq \frac{3}{ab+ac+bc}$ olduğunu göstereceğiz. $a+b+c=1$
$(ab+ac+bc)^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c) \geq 3abc(a+b+c)=3abc$
İfadeyi düzenlersek $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{ab+ac+bc}$ buluruz.
$S \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ olduğunu gösterelim.
$S\underbrace{\left(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2b^2c}+\frac{b^2-bc+c^2}{ab^2c^2}+\frac{a^2-ac+c^2}{a^2bc^2}\right)}_{\mathrm{=A\ olsun}} \geq \left(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\right)^2$ (Cauchy-Schwarz)
$\Rightarrow S \geq \frac{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)^2}{A} \Rightarrow \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)^2 \geq A\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ olduğunu gösterirsek çözümü tamamlamış oluruz.
Her iki tarafı hesaplayalim.
$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}+\frac{2}{a^2b^2}+\frac{2}{a^2c^2}+\frac{2}{b^2c^2} \stackrel{?}{\geq} \left(\frac{1}{b^2c}-\frac{1}{abc}+\frac{1}{a^2c}+\frac{1}{ac^2}-\frac{1}{abc}+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}-\frac{1}{abc}+\frac{1}{a^2c}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) $
Sadeleştirip, düzenleyelim.
$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}+\frac{3}{abc}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \stackrel{?}{\geq} 2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\frac{1}{abc}+\frac{1}{ab}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{1}{ac}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{1}{bc}\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$
$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}+\frac{1}{abc}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \stackrel{?}{\geq} \frac{1}{ab}\left(\frac{1}{a^2+b^2}\right)+\frac{1}{ac}\left(\frac{1}{a^2+c^2}\right)+\frac{1}{bc}\left(\frac{1}{b^2+c^2}\right)$
$r\in \mathbb{R}$ için $\sum{x^r\left(x-y\right)\left(x-z\right)} \geq 0$ (Shur eşitsizliği). Yukarıdaki eşitsizlik Shur eşitsizliğinde $r=2$ durumuna denk geldiği için ispat tamamlanmış olur.
