Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1974 Soru 2

[geo]

$ABC$ üçgeninin $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alındığında, $CD$ nin $AD$ ile $DB$ nin geometrik ortası olması için gerek ve yeter koşulun $$\sin A \sin B \leq \sin^2 \dfrac C2$$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

• $CD = \sqrt {AD \cdot BD} \Rightarrow \sin \angle A \sin \angle B \leq \sin^2 \frac {\angle C}2$
  
  $C$ nin $D$ ye göre simetriği $C'$ olsun. $CD \cdot DC' = AD \cdot BD$ olduğu için, $ACBC'$ bir kirişler dörtgenidir.
  $\angle ACB$ nin açıortayı $(ABC)$ çevrel çemberini $L$ de kessin.
  $BC= \sin \angle A$ dersek, $AC = \sin \angle B$ ve $BL=AL= \sin \frac {\angle C}2$ olacaktır.
  $CD=DC'$ olduğu için, $[ADC] = [ADC']$, $[BCD]=[BDC']$, dolayısıyla $[ABC]=[AC'B] \leq [ALB]$ dir. ($AB$ ye ait yükseklik en büyük değerini yayı ortaladığında alır.)
  $[ABC] = \frac 12 \cdot \sin \angle A \cdot \sin \angle B \leq [ALB] = \frac 12 \cdot \sin \angle C \cdot \sin \angle C$ $\Rightarrow \sin \angle A \cdot \sin \angle B \leq \sin ^2 \frac {\angle C}2$. $\blacksquare$
  
  
• $\sin \angle A \sin \angle B \leq \sin^2 \frac {\angle C}2 \Rightarrow CD = \sqrt {AD \cdot BD}$ olacak şekilde $D$ seçilebilir.
  
  $(ABC)$ çemberinin $C$ yi içermeyen $AB$ yayının orta noktası $L$ olsun. $AB$ nin orta noktası $M$ olsun. $CH \perp AB$ ve $H \in AB$ olsun.
  $BC=\sin \angle A$ dersek, $AC = \sin \angle B$, $BL=AL=\sin \frac {\angle C}2$ olacaktır.
  $\sin \angle A \sin \angle B \leq \sin^2 \frac {\angle C}2 \Rightarrow [ABC] \leq [ABL] \Rightarrow CH \leq ML$ dir.
  $C$ yi içermeyen $AB$ yayı üzerinde hareketli $C'$ noktaları alalım. $C'$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $H'$ olsun. $0 < C'H' \leq ML$ dir. Olası $C'H'$ lerden birinin uzunluğu $CH$ ye eşit olsun. Böyle bir $C'H'$ vardır; çünkü $C'H'$, $0$ ile $ML$ arasında değişiyor ve $CH \leq ML$. Söz konusu $C'$ noktası için $CC' \cap AB = \{D\}$ olsun. $CH=C'H'$ olduğu için $CD=DC'$ dür. $D$ noktasının çevrel çembere göre kuvvetinden $CD^2 = CD\cdot CD' = AD \cdot BD$. $\blacksquare$