Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 22

[geo]

$5^{256} - 1$ sayısı $2^n$ ile bölünüyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$5^{256} - 1 = (5-1)(5+1)(5^2 + 1)(5^4+1)(5^{2^3} + 1) \cdots (5^{2^6} + 1)(5^{128}+1) = 2^2 \cdot \sum \limits_{i=0}^{7}5^{2^i} + 1$

$5^{2^i} + 1 \equiv 2 \pmod 4$ olduğu için $5^{2^i} + 1 = 4a_i + 2 = 2(2a_i  + 1)$ şeklinde değişken değiştirirsek
$5^{256} - 1  = 2^2 \cdot \sum \limits_{i=0}^{7} 2(2a_i + 1) = 2^{10} \cdot \sum \limits_{i=0}^{7}(2a_i + 1)$ olacaktır.