Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 03

[Squidward]

$(x^2 - 2x \sqrt 2 + 7)(y^2 + 2y \sqrt 3 + 8) = 25$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}$ Sonsuz çoklukta

[Squidward]

Yanıt: $\boxed{B}$

$(x^2 - 2x \sqrt 2 + 7)(y^2 + 2y \sqrt 3 + 8) = 25$ ifadesini $((x - \sqrt 2)^2 + 5)((y - \sqrt 3)^2 + 5) = 25 $ olarak çarpanlarına ayırabiliriz.

Kare içi $0$'dan küçük olamayacağından iki çarpanında $5$den büyük eşit olduğu görülür ve bir çarpanı $5$'ten büyük ise diğer çarpan $5$ten küçük olması gerektiğinden tek olasılık iki çarpanında $5$'e eşit olmasıdır.

$x = \sqrt{2},$  $y = \sqrt{3}$den başka çözüm yoktur.