Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 3  (Okunma sayısı 187 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş
  • ******
  • İleti: 312
  • Karma: 5
Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 3
« : Şubat 08, 2018, 09:50:47 ös »
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $a_{11}, a_{12},\ldots, a_{nn}$ pozitif gerçel sayıları her $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ için $a_{ij}\cdot a_{ji}=1$ koşulunu sağlıyor. $c_i=\sum_{k=1}^{n} a_{ki}$ olmak üzere,$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{c_i}\le1$$olduğunu gösteriniz.

(Serhat Doğan)
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı nk6

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 10
  • Karma: 0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 3
« Yanıtla #1 : Şubat 22, 2018, 12:49:21 öö »
$n$ üzerinden tümevarım yapalım.

$n=1,2$ için ifadenin $1$ e eşit olduğu kolayca görülür.

$n=k-1$ için doğru olsun, $n=k$ için doğruluğunu gösterelim.

$d_i=a_{1i}+\ldots +a_{(k-1)i}$ olsun.

$1\leq i \leq k-1$ için $\frac{1}{c_i}=\frac{1}{d_i+a_{ki}}=\frac{a_{ik}}{d_i\cdot a_{ik} + 1}$

$e_i=\frac{1}{d_i}$ tanımlayıp yerine yazarsak $1\leq i \leq k-1$ için

$\frac{1}{c_i}=\frac{a_{ik}\cdot e_i}{a_{ik} + e_i}$ ve $\frac{1}{c_k}=\frac{1}{a_{ik}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}$ olmak üzere

$\frac{a_{1k}\cdot e_1}{a_{1k} + e_1}+\ldots +\frac{a_{(k-1)k}\cdot e_{k-1}}{a_{(k-1)k} + e_{k-1}}+\frac{1}{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}\leq 1$ olduğunu göstermek yeterlidir. Bu da

$\frac{a_{1k}\cdot e_1}{a_{1k} + e_1}+\ldots +\frac{a_{(k-1)k}\cdot e_{k-1}}{a_{(k-1)k} + e_{k-1}}\leq\frac{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k}}{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}$ olmasına denktir.

Lemma: $\frac{a_1\cdot b_1}{a_1 + b_1}+\frac{a_2\cdot b_2}{a_2 + b_2}\leq\frac{(a_1 + a_2)\cdot (b_1 + b_2)}{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}$

Lemmayı ispatlamak için ifadeyi açıp düzenlersek $2a_1a_2b_1b_2\leq (a_1b_2)^2 + (a_2b_1)^2$ elde ederiz ki doğrudur.

Lemmayı tekrarlı bir şekilde kullanırsak

$\frac{a_{1k}\cdot e_1}{a_{1k} + e_1}+\ldots +\frac{a_{(k-1)k}\cdot e_{k-1}}{a_{(k-1)k} + e_{k-1}}\leq\frac{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})\cdot (e_1+\ldots + e_{k-1})}{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})+(e_1+\ldots + e_{k-1})}$ elde ederiz.

Son olarak $\frac{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})\cdot (e_1+\ldots + e_{k-1})}{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})+(e_1+\ldots + e_{k-1})}\leq\frac{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k}}{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}$ olduğunu gösterelim.

Taraf tarafa çarpıp düzenlersek, ifade $e_1+\ldots e_{k-1}\leq 1$ olmasına denktir ki tümevarım varsayımından doğrudur, q.e.d

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal