köklü denklem {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$\dfrac1x + \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{35}{12}$ denkleminin rasyonel köklerinin toplamı kaçtır?

[alpercay]

$x=sint=b/a$  ,    $cost=c/a$   dersek denklem $a (b+c)/bc=35/12$ şekline girer. Rasyonel çözümler arandığından
$a,b,c$ sayılarını tamsayi alabiliriz. Denklemin sol tarafını da aralarında asal kabul edersek $b=3, c=4 $  ve $a=5$
bulunur. $x=cost$ de alınabileceğinden kökler $3/5$ ve $4/5$ bulunacaktır. Bu genel bir çözüm değil fakat sayılar
uygun verilmiş böyle bir çözüme.

[Lokman Gökçe]

$\dfrac1x + \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{35}{12}$ denkleminde $x \neq 0$ ve $-1 \lt x \lt 1$ olduğu görülmektedir. $x=\cos y$ dersek $0^\circ < y <180^\circ $ ve $y \neq 90^\circ $ alabiliriz. Bu halde $\sqrt{1-x^2}=\sin y > 0$ dır. Bu değişken değiştirmelere göre denklem $$\dfrac{1}{\cos y}+ \dfrac{1}{\sin y} = \dfrac{35}{12} \tag{1}$$ olur. $$ \dfrac{\sin y + \cos y}{\sin y \cdot \cos y}= \dfrac{35}{12} \tag{2}$$ denkleminde $(\sin y + \cos y)^2=1+2\cdot \sin y \cdot \cos y$ özdeşliğinden faydalanarak ve $\sin y + \cos y = z$ değişken değiştirmesi yaparak $$ \dfrac{2z}{z^2-1} = \dfrac{35}{12} \tag{3}$$ denklemini elde ederiz. $35z^2 -24z -35=0$ olup $(7z+5)(5z-7)=0$ biçiminde çarpanlara ayrılır. $z_1=-\dfrac{5}{7}$ ve $z_2=\dfrac{7}{5}$ kökleri bulunur. Buna göre $x + \sqrt{1-x^2} = -\dfrac{5}{7}$ veya $x + \sqrt{1-x^2} = \dfrac{7}{5}$ durumları oluşur. İlk denklemin tek gerçel kökü $x= \dfrac{-5 -\sqrt{73}}{14}$ tür ve rasyonel değildir. İkinci denklemin kökleri ise $x_1=\dfrac35, x_1=\dfrac45$ tir. Rasyonel köklerin toplamı $x_1+x_2=\dfrac75$ bulunur.