Çembersellik [çözüldü]

[MATSEVER 27]

$P$ noktası $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $AP$ doğrusu $\angle{BAC}$ açısının açıortayı olacak şekilde alınmış bir noktadır. $[AP]$ nin orta noktası $M$ olsun. $A$ dan $[BC]$ ye inilen dikin ayağı $Q$ noktasıdır. $PMQ$ üçgeninin çevrel çemberi $CM$ doğrusunu $Z$ noktasında kesiyor. Buna göre $A,Z,Q,B$ noktalarının çembersel olduğunu kanıtlayınız.

[ERhan ERdoğan]

$MQC$ üçgeninde stewart teoreminden $|QM|^2=|MC|^2-|PC|\cdot|PQ| \tag{1}$ dır. $C$ noktasının $(MQPZ)$ çemberine göre kuvvetinden $|PC|\cdot|PQ|=|ZC|\cdot|MC| \tag{2}$ olduğundan $|MQ|^2=|MC|^2-|ZC|\cdot|MC| = |MC|(|MC|-|ZC|) = |MZ|\cdot|MC| \tag{3}$ olur.
Buna göre $|AM|^2=|MZ|\cdot|MC|$ olup $\angle{MAZ}=\angle{ACZ}$ dir. Buradan $\angle{AZM}=\angle{CAM}=\angle{BAM}$ dir. Son olarak $\angle{MAZ}+\angle{AZM}=\angle{ZMP}=\angle{PQZ}=\angle{MAZ}+\angle{BAM}$ olduğundan $A,Z,Q,B$ çemberseldir.