Sorunun ilham kaynağı:
2001/27
$2 \cdot 10^k \leq 2^n < 3\cdot 10^k$
$x \cdot 10^m \leq 5^n < (x+1)\cdot 10^m$
$2x \cdot 10^{k+m} \leq 10^n < 3(x+1)\cdot 10^{k+m}$
$2 \leq 2x \leq 10^{n-k-m} < 3(x+1) \leq 30$
Öyleyse, $n-k-m=1$.
$ 2x \leq 10 < 3(x+1) \Rightarrow 2<x \leq 5 \Rightarrow \boxed{x=3,4,5}$.
$x \cdot 10^k < 2^n < (x+1)\cdot 10^k$
$x \cdot 10^m < 5^n < (x+1)\cdot 10^m$
$x^2 \cdot 10^{k+m} < 10^n < (x+1)^2\cdot 10^{k+m}$
$1 \leq x^2 < 10^{n-k-m} < (x+1)^2 \leq 100$
Öyleyse, $n-k-m=1$.
$ x^2 < 10 < (x+1)^2 \Rightarrow 2<x< 4 \Rightarrow \boxed{x=3}$.
NOT:Orijinal sorudan farklı olarak, $a$ şıkkında, eşitsizliğin sol tarafında $\leq$ olması gerektiğini fark etmemiz gerekiyor. $2$ ya da $5$ nin herhangi bir üssünün sonunda $0$ olamaz; ama $2 \cdot 10^0 = 2$ ve $5 \cdot 10^0 = 5$ durumları eşitsizliğimizin istisnaları.
"O halde, sol tarafı hep $\leq$ ile yazalım. Hem $b$ şıkkında, hem de
2001/27 sorusunda sol tarafı $\leq$ ile yazdığımızda sonuç değişmiyor. Hem bu yöntemle, $a$ şıkkı da garanti altına alınıyor." diye düşünürsek, aşağıdaki soru bize yanıldığımızı gösterir:
$c)$
$2^n$ sayısının ondalık yazılımı $5$ ile başlıyorsa, $5^n$ sayısının ondalık yazılımı hangi rakam ile başlar?Aşağıdaki tabloda, $2^n$ nin ilk basamağına karşı gelen $5^n$ nin ilk basamağı gösterilmiştir:
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
2^n \backslash 5^n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
1 & & & & & \times & \times & \times & \times & \times\\ \hline
2 & & & \times & \times & \color{red}{\times} & & & & \\ \hline
3 & & \times & \times & & & & & & \\ \hline
4 & & \times & & & & & & & \\ \hline
5 & \times & & & & & & & & \\ \hline
6 & \times & & & & & & & & \\ \hline
7 & \times & & & & & & & & \\ \hline
8 & \times & & & & & & & & \\ \hline
9 & \times & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}
$$
Dikkat ederseniz, $R = \{ (a,b) \mid a, 2^n \text{ nin ilk basamağı iken; } b, 5^n \text{ nin ilk basamağı}\}$ olarak tanımlanırsa, $(2,5) \in R$ olmasına rağmen $(5,2) \not\in R$. Onun haricinde $(a,b) \in R-\{(2,5)\} \Longleftrightarrow (b,a) \in R-\{(2,5)\}$ olduğu için $R-\{(2,5)\}$ bağıntısı simetriktir.
