2012 American Invitational Mathematics Examination - 2

[Lokman Gökçe]

2012 AIME sınavının Türkçe tercümesini sunalım ...

[alpercay]

Başlangıç yapalım...
Çözüm 2.

a_n=a₁.r^n-1=27.r^n-1
b_n=b₁.r^n-1=99.r^n-1
a₁₅=b₁₁ ise 27.r¹⁴=99.r¹⁰ dan  r⁴=11/3
a₉=a₁.r⁸=27.(11/3)²=363

[alpercay]

Çözüm 1.

d=(20,12)=4|2012 olduğundan çözüm mevcut.m₀=100,n₀=1 bir özel çözüm,k keyfi bir tam sayı olmak üzere genel çözüm

m=m₀+(12/d).k=100+3k  ve  n=n₀-(20/d).k=1-5k

şeklinde olup m ve n nin pozitif olması için  -100/3<k<1/5 aralığındaki k tam sayıları seçilmelidir.Bu aralıkta 34 adet k sayısı bulunduğundan denklemi sağlayan (m,n) tam sayı ikilileri  34 tanedir.

İkinci Yol: Denklem  mod 20 veya mod 12 de incelenerek de çözüme gidilebilir.

[FEYZULLAH UÇAR]

6.soru

[FEYZULLAH UÇAR]

7.soru

[FEYZULLAH UÇAR]

9.soru

[arthur coimbra]

10. soru

[arthur coimbra]

4. soruda cevabı 62 buluyorum hocam.cevap anahtarında da 61 denmiş.çözümümü inceledim işlem hatası da yok.belki de cevap anahtarına yanlış yazılmıştır diye düşünüyorum 

[Lokman Gökçe]

Murat kardeşim eline sağlık, çözümünde hata yok. ben çeviride |AE| = r vermişim. Sorunun orijinaline göre |DE| = r veriliyor. Uğraştırdım seni kusura bakma sana zahmet olacak ama bir de |DE| = r için problemi çözüver. (Bu defa 61 çıkacaktır) Cevapların birbirine böyle yakın olması da ilginç olmuş. Diğer problemleri de gözden geçirdikten sonra soru dökümanını güncellerim ben de.

[Lokman Gökçe]

Problem 3'ü de ben çözeyim:

E, B harfleriyle sırasıyla erkekleri ve bayanları gösterelim

Matematik bölümündeki hocalar: E₁, E₂, B₁, B₂
İstatistik bölümündeki hocalar: E₃, E₄, B₃, B₄
Bilgisayar bölümündeki hocalar: E₅, E₆, B₅, B₆

olsun.

{E₁, E₂} bulunması durumunda istatistikden en fazla 1 erkek gelebilir. E₃ gelirse yanına B₃ veya B₄ den birini 2 yolla seçebiliriz. Bu halde Bilgisayar bölümünden kesinlikle bayanlar gelecektir. Yok E₄ gelirse diye başlarsak yine 2 durum oluşur. Toplam 2 + 2 = 4 durum vardır.

Şimdi {E₁, E₂} varken istatistikten hiç erkek gelmemesi durumuna bakalım. Bu durumda B₃, B₄ kesinlikle bulunur. Bilgisayar bölümünden de bir erkek ve bir bayan seçilmelidir. 2.2 = 4 yolla seçilir.

{E₁, E₂} varken alt durumların toplamı toplam 4 + 4 = 8 dir.

Benzer biçimde {B₁, B₂} varken genel toplam da 8 dir.

matematikçiler aynı cinsiyetli olursa 2.8 = 16 durum oluşur.

Şimdi matematikten 1 erkek ve 1 bayan gelmesi durumuna bakalım. 2.2 = 4 yolla mümkündür. Bunun alt durumlarına bakalım:

istatistik'den 2 erkek gelirse, Bilgisayardan kesinlikle 2 bayan gelir. Bu 1 durumdur. İstatistikten 2 bayan gelirse de bilgisayardan kesinlikle 2 erkek gelir. Bu da 1 durumdur. İstatistikten ve bilgisayardan 1'er erkek 1'er bayan gelirse 2.2.2.2 = 16 durum oluşur. Toplam 16 + 1 + 1 = 18 durum vardır. çarpma prensibinden 4.18 = 72 bulunur.

Genel toplam: 16 + 72 = 88 elde edilir.

[Lokman Gökçe]

oldukça kolay bir problem olan 5. sorunun çözümü:

Yan yüzeylerdeki ikizkenar üçgenlerin tepe açısına ait yüksekliklerini h₁ ile gösterelim. 2h₁ + 15 = 40 eşitliğinden h₁ = 12,5 bulunur. h₁ yüksekliği aslında yan yüz yüksekliğidir. Piramidi oluşturduğumuzu düşünelim. Küçük karenin merkezinin kenara uzaklığı da 15/2 = 7,5 dir. Piramidin yüksekliği h olmak üzere h² + (7,5)² = (12,5)² dir. (3-4-5 oranı olduğundan) h = 10 bulunur. Tabandaki karenin bir kenar uzunluğu a = 15 olduğundan Hacim = (1/3)a²h = (1/3).225.10 = 750 elde edilir.

[arthur coimbra]

hocam 4. problemi DE=r alacak şekilde çözdüm.önceki yaptığım çözümün sonunda AD ve DE nin değerleri değişebilir olduğundan dolayı cevap 61 ve 44 olabiliyor.1. durumda p=13k , q=24k ve r=7k olup toplamları 44k olurken 2. durumda p=30k , q=7k ve r=24k olup toplamları 61k oluyor.Yine görüldüğü üzere iki durumda da p ve q aralarında asal oluyor.yoksa ben mi yanlış hesaplıyorum

[Lokman Gökçe]

Ayrıca, AD kenarı dikdörtgenin uzun kenarı olarak veriliyor  Bu halde yalnızca p = 30k, q = 7k, r = 24k durumu geçerli oluyor.

[arthur coimbra]

11. soru