Noktadaş Çemberler {çözüldü}

[KereMath]

$ABC$ üçgeninin yükseklikleri $[AD],[BE],[CF]$ ve çevrel merkezi $O$ dur. $AOD,BOE,COF$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $O$ dan başka bir noktada daha kesiştiğini ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

$AOD, BEO, COF$ üçgenlerinin çevrel çemberlerini sırasıyla $c_1,c_2,c_3$ ile gösterelim. $OH$ doğrusu $c_1,c_2,c_3$ çemberlerini sırasıyla $P_1,P_2,P_3$ noktalarında kessin. $P_1,P_2$ ve $P_3$ ün aynı nokta olduğunu göstereceğiz.

Öncelikle $ABC$ üçgeninde diklik merkezinin bir özelliği olarak
$$|HA|\cdot |HD|=|HB|\cdot |HE|=|HC|\cdot |HF| \tag{1}$$
olduğunu biliyoruz. $H$ noktasının $c_1,c_2,c_3$ çemberlerine göre kuvvetinden
$$|HA|\cdot |HD|=|HO|\cdot |HP_1|$$
$$|HB|\cdot |HE|=|HO|\cdot |HP_2|$$
$$|HC|\cdot |HF|=|HO|\cdot |HP_3|$$
olur. $(1)$ den dolayı $|HP_1|=|HP_2|=|HP_3|$ olup $P_1,P_2,P_3$ üçü aynı noktadır. Bu da problemde aranan, üç çemberin kesişim noktasıdır.