Polinom olimpiyat soruları {çözüldü}

[ahmetsaitozyurek]

Soruların çözümünde yardımcı olurmusunuz

[AtakanCİCEK]

$20)$  $P(x,y)=(x-y).Q(x,y)$ şeklinde bir $Q(x,y)$ şeklinde bir $Q$ polinomu vardır.
Polinom simetrik ise  $P(x,y)=P(y,x)$ olmalıdır. O halde $P(y,x)$ polinomunun $Q$ polinomu cinsinden yazılımını bulup denklemi kuralım.
$P(y,x)=(y-x).Q(y,x)$ eşitliği elde edilir  $P(x,y)=P(y,x)$ olduğunu kullanalım.
$(x-y).Q(x,y)=(y-x).Q(y,x)$ ifadesinde her iki tarafı $x-y$ ile bölelim.
$Q(x,y)=-Q(y,x)$ yani $Q(x,y)+Q(y,x)=0$ eşitliği elde edilir. $x=y$ için $Q(x,x)=0$ yani $y$'e göre polinomu denklem şeklinde düşündüğümüzde $y$ yerine $x$ koyduğumuzda $0$ olduğu için $y=x$ denklemin köküdür. O halde $Q(x,y)$ polinomu
$Q(x,y)=(x-y).R(x,y)$ şeklinde yazılabilir. Bu eşitliği  en başta yerine koyarsak
$P(x,y)=(x-y)^2.R(x,y)$ şeklinde yazılır.
İspat bitmiştir.

[AtakanCİCEK]

$22)$ $P(x)=x^3+px^2+qx+r$ olsun.
$p+q+r$ için aralık gerektiği için $P(1)$'in aralığını bulmak gerekir. Denklemin kökleri $a,b,c$ olmak üzere
$P(x)=x^3+px^2+qx+r=(x-a).(x-b).(x-c)$ formunda yazılır. Buradan $P(1)-1=p+q+r=(1-a).(1-b).(1-c)-1$ elde edilir.
$0<a<2$ $⇒$ $-1<1-a<1$
$0<b<2$ $⇒$ $-1<1-b<1$
$0<c<2$ $⇒$ $-1<1-c<1$ eşitsizlikleri taraf tarafa çarpılırsa
$-1<(1-a).(1-b).(1-c)<1$ $⇒$ $-2<p+q+r<0$ elde edilir. İspat biter.

[AtakanCİCEK]

$25)$ Polinomumuz $P(x)$ olsun.
$P(x)$ polinomu en genel halde $P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ şeklinde yazılabilir.
$P(0)=a_0$ olduğundan $a_0$ tek sayı olmalıdır.
$P(1)=a_n+a_{n-1}+..+a_1+a_0$ ve $a_0$  tek olduğundan $a_n+a_{n-1}+...+a_1$ çift olmalıdır.
şimdi $t$ denklemimizin bir kökü olsun. Bu durumda
$P(t)=0$ denklemini düzenlersek ;
$a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t+a_0=0$ yani $a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t=-a_0$ denkleminin çözümlerine bakmalıyız.

$a)$  $t$ tek sayı ise $a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t ≡a_n+a_{n-1}+..+a_1(mod2) ≡ 0(mod2)$ olduğundan sol taraf çifttir. Sağ taraf ise $a_0≡1(mod2)$ olduğundan  $1≡0(mod2)$ çelişkisi elde edilir.

$b)$  $t$ çift sayı ise  $a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t$ $t$ parantezine çekilebildği için kesinlikle çift olmalıdır.  Yine $1≡0(mod2)$ çelişkisi oluşur.

İspat bitmiştir.

[AtakanCİCEK]

$24)$  $P(x)$ polinomunun en büyük terimi en büyük dereceli terimi $ax^r$ olsun. Buna göre $P(P(x))$ polinomunun en büyük terimi $a^{r+1}x^{r^2}$ olacağından  $a^{r+1}x^{r^2}=a^nx^{nr}$         
($(P(x))^n$ teriminin katsayısı ile eşitledik.)
$a≠1$ $⇒$ $r+1=n=r$  çelişkisi olacağından  $a=1$ olmalıdır. Bu durumda $r=n$ ve $a=1$ elde edilir.
$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ olur. Bu polinomu yukarıdaki eşitliğe koyarsak (soruda verilen eşitliğe)
$P(P(x))=(P(x))^n+Kalan$ $Terimler$ Olacağından Polinomların eşit olması sadece $Kalan$ $Terimler$ in $0$ olmasıyla mümkündür.
$P(x)=x^n$ olmak zorunda olduğu elde edilir.

[AtakanCİCEK]

$23)$  $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}+x^{n-1}+...+a_0$ olsun. $P(0)$ polinomun sabit terimi olan $a_0$ dır.
$1≤i≤n$ için $a_i≤a_0$ soruda verilmiş.
$((P(x))^2$ polinomunda $x^{n+1}$ teriminin katsayısı $p$ olsun. $p=a_1a_n+a_2a_{n-1}+...+a_na_1$ için bir eşitsizlik düşünelim.
$k=a_1a_n+...+a_na_1≤a_0(a_1+a_2+...+a_n)$ sağdaki her bir terim büyük eşit olduğundan bu eşitsizlik geçerlidir.
şimdi $(P(1))^2$ için bir şeyler düşünelim. denklemin tüm $a_ia_j$ formunda katsayıların toplamını ifade ettiğinden içinde $a_0a_i$ formunda olanları  $(P(1))^2$ ifadesinden küçük eşit olur. Çünkü diğer tüm terimlerin $0$ olma ihtimali de vardır. fakat $a_0a_i$ formunda katsayılar olduğu gibi $a_ia_0$ formunda da olabileceğinden $a_0$ bulunduran katsayılar için$2a_0(a_1+...+a_n)≤(P(1))^2$ olarak düşünülebilir. 

$k=a_1a_n+...+a_na_1≤a_0(a_1+a_2+...+a_n)≤\frac{(P(1))^2}{2}$ eşitsizliği elde edilir.