Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 28

[AtakanCİCEK]

Masadaki üç kutuda başlangıçta $k$,$l$ ve $m$ bilye bulunuyor. İki oyuncu sırasıyla hamle yaparak sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncuların birini veya ikisini seçip seçtiği kutu veya kutulardan birer bilye alıyor. Hamle yapamayan oyuncu kaybediyor. Oyun $(k,l,m)=(2017,2018,2018)$, $(2017,2018,2019)$, $(2018,2018,2018)$, $(2018,2019,2019)$ ve $(2019,2019,2019)$ için birer kez oynanırsa , oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}2    \qquad \textbf{c)}\  3  \qquad \textbf{d)}\ 4   \qquad\textbf{e)}\  5$

[Kerem123]

(2p,2q,2s) durumunda hangi hamle yapılırsa yapılsın, rakip oyuncu durumu yeniden (2r,2e,2h) durumuna getirebiliyor. Bu nedenle (2p, 2q,2s) durumunda ba¸slayan oyuncu oyunu kaybediyor. Buradan (2p + 1, 2q + 1,2s + 1) durumunda da ba¸slayan oyuncunun oyunu kaybedece˘gi g¨or¨ ul¨uyor. Di˘ger t¨um durumlardan bu iki duruma hamle bulunuyor.

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Cevap: $3$.

$(2 p, 2 q, 2 s)$ durumunda hangi hamle yapılırsa yapılsın, rakip oyuncu durumu yeniden $(2 r, 2 e, 2 h)$ durumuna getirebiliyor. Bu nedenle $(2 p, 2 q, 2 s)$ durumunda başlayan oyuncu oyunu kaybediyor. Buradan $(2 p+$ $1,2 q+1,2 s+1)$ durumunda da başlayan oyuncunun oyunu kaybedeceği görülüyor. Diğer tüm durumlardan bu iki duruma hamle bulunuyor.

Kaynak: Tübitak 26. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2018