Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 16

[geo]

$x_1 + x_2 + \cdots + x_{13} \leq 2006$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1, x_2, \dots , x_{13})$ pozitif tam sayı on üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2006!}{13!\cdot 1993!}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2006!}{14!\cdot 1992!}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1993!}{12!\cdot 1981!}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1993!}{13!\cdot 1980!}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[t-temiz]

Yanıt: $\boxed{A}$

$x_1+x_2+x_3+ \ldots+x_{13}\le2006$ Burada $x_i$'ler pozitif olmalıdır. Bu koşuldan kurtulmak için $x_i=a_i+1$ dönüşümünü yapalım. $a_i\ge0$ olur. Soruda verilen ifadeyi düzenlersek $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{13}\le1993$ ifadesini elde ederiz. Öyleyse $a_1+a_2+\ldots+a_{13}+a_{14}=1993$ Olacak şekilde bir $a_{14}$ vardır. Bu denklemini de sağlayan ${2006\choose 13}$ tane tam sayı üçlüsü vardır.