Dik üçgen {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

$\angle{A}=90^{\circ}$ olan $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $|AB|=|HC|$ olacak şekilde alınan $H$ noktası için $AH \perp BC$ olmaktadır. $D \in [AC]$ ve $\angle{ABD}=\angle{CBD}$ dir.

$[BD]$ nin orta noktası $E$ olmak üzere, $\angle{AEC}=90^{\circ}$ olduğunu gösteriniz.

[FEYZULLAH UÇAR]

Önce öklid teoreminden  $a^2=b.(a+b)$   .......(*) yazalım
$BD$ açıortay olduğundan $|AD|=ak $ ve $|DC|=(a+b)k$ olur. Ayrıca açılar yerleştirilirse $|AD|=|AF|=ak$ olur.Buradan $BD$ açıortay olduğundan $ABH$ üçgeninde açıortay teoremine göre $|FH|=bk $ olur. $\angle{ABH}= \angle{HAC} $  ,
$\dfrac{(a+b)k}{a}=\dfrac{ak}{b}$
ve (*) dan $HAB$ ile $DHA$ üçgenleri benzer olur.Buradan
$\angle{HDC}=90^{\circ}$ olur.Buradan açılar yazılırsa $|BH|=|HD|$ olduğu görülür.Buradan $\angle{EAD}=\angle{BHE}$ olduğundan $AEHC$ kirişler dörtgeni olup $ \angle{AEC} =90^{\circ} $ olur