Geomania Facebookta!Geomania'da ki değişiklikleri sosyal medyada takip etmek için Anasayfamızda ki "Beğen" butonuna tıklayınız.
$$I=\lim_{n\to\infty} (2n-\ln(\dfrac{(n+1)^{2n+1}}{(n!)^2}))=\ln(2\pi)-2$$ olur. Bu limitin doğruluğunu wolframalpha'dan kontrol edebilirsiniz.
Denklemi ayrı ayrı ele alalım, $I=\int_{0}^{1} \{\dfrac{1}{x}\}^2-\{\dfrac{1}{x}\} dx$, $I_1=\int_{0}^{1} \{\dfrac{1}{x}\} dx$ ve $I_2=\int_{0}^{1} \{\dfrac{1}{x}\}^2 dx$ olsun. $x=\dfrac{1}{t}$ dönüşümü yaparsak,$\lfloor x\rfloor$ tam kısım olmak üzere, $$I_1=\int_{0}^{1} \{\dfrac{1}{x}\} dx=\int_{1}^{\infty} \dfrac{\{t\}}{t^2} dt=\int_{1}^{\infty} \dfrac{t-\lfloor t\rfloor}{t^2} dt=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{k}^{k+1} \dfrac{t-k}{t^2} dt=\sum_{k=1}^{\infty} (\ln(\dfrac{k+1}{k})-\dfrac{1}{k+1})$$$$I_2=\int_{0}^{1} \{\dfrac{1}{x}\}^2 dx=\int_{1}^{\infty} \dfrac{\{t\}^2}{t^2} dt=\int_{1}^{\infty} \dfrac{(t-\lfloor t\rfloor)^2}{t^2} dt$$ $$\Rightarrow I_2=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{k}^{k+1} \dfrac{t^2-2tk+k^2}{t^2} dt=\sum_{k=1}^{\infty} (2-2k\ln(\dfrac{k+1}{k})-\dfrac{1}{k+1})$$ $$I=I_2-I_1=\sum_{k=1}^{\infty} (2-(2k+1)\ln(\dfrac{k+1}{k}))$$ $S_n=\sum_{k=1}^{n} (2-(2k+1)\ln(\dfrac{k+1}{k}))$ olsun. $I=\lim_{n\to\infty} S_n$ olur. $$S_n=\sum_{k=1}^{n} (2-(2k+1)\ln(\dfrac{k+1}{k}))=2n-\ln(\prod_{k=1}^{n}\dfrac{(k+1)^{2k+1}}{k^{2k+1}})=2n-\ln(\dfrac{(n+1)^{2n+1}}{(n!)^2})$$ $$I=\lim_{n\to\infty} (2n-\ln(\dfrac{(n+1)^{2n+1}}{(n!)^2}))=\ln(2\pi)-2$$ olur. Bu limitin doğruluğunu wolframalpha'dan kontrol edebilirsiniz.