Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 17

[AtakanCİCEK]

$m(\widehat{ACB})=60^\circ$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H$ ve $A$ dan karşı kenara indirilen dikmenin ayağı $D$ dir. $[AC]$ üzerinde $|BD| \cdot |CD| = |ED|^2$ olacak şekilde bir  $E$ noktası alınıyor. $|BH| = 7|EH|$ ise $\frac{|AE|}{|CE|}$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ \frac{1}{7} \qquad\textbf{b)}\ \frac{1}{6}  \qquad\textbf{c)}\  \frac{1}{5} \qquad\textbf{d)}\ \frac{1}{4}\qquad\textbf{e)}\  \frac{1}{3}$

[Kerem123]

BDH üçgeni ileADC üçgeni benzer olur bu durumda |BD| |CD| = |DH| |DA| olur. Buradan da |DE|^2=|DH| |DA| buluruz. Yani DHE üçgeni ile DEA benzer olur. HBD açısı eşittir DAE o da eşittir HED açısı olur ve hepsi 30 derece olur. ADE açısı a olsun. 1/7 =|EH| / |BH| =|EH| / |HD| |HD| / |BH| = (sina/sin30) sin30=sina olur. |AE|/|EC|=tana/tan30=1/(48^1/2) /(1/3^1/2)=1/4 olur.

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $\dfrac{1}{4}$.

$\triangle B D H \sim \triangle A D C$ olduğundan $|B D| \cdot|C D|=|D H| \cdot|D A|$ olur. Buradan da $|D E|^2=|D H| \cdot|D A|$ buluruz. Yani $\triangle D H E \sim \triangle D E A$ olur. $\angle H B D=\angle D A E=\angle H E D=30^{\circ}$ olur. $\angle A D E=\alpha$ olsun. $1 / 7=$ $|E H| /|B H|=|E H| /|H D| \cdot|H D| /|B H|=(\sin \alpha / \sin 30^\circ) \cdot \sin 30^\circ=\sin \alpha$ olur. $|A E| /|E C|=\tan \alpha / \tan 30^\circ=1 /(4 \sqrt{3}) /(1 / \sqrt{3})=1 / 4$ olur.

Kaynak: Tübitak 26. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2018