Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 1

[ArtOfMathSolving]

$$\left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016$$koşulunu her $x$ gerçel sayısı ve her $n$ pozitif tamsayısı için sağlayan tüm $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ birebir fonksiyonlarını bulunuz.

[kriptoman]

İnjektif fonksiyon

[Eray]

İnjektif fonksiyon

Düzeltildi

[ArtOfMathSolving]

Çözümün türkçesini yazmanız mümkün mü ? Pek anlayamadım da.

[çılgın]

$f(a+1)-f(f(a))=k$ olsun. $k=0$ olduğunu gösterelim.

Varsayalım ki $k\neq 0$ olsun. $k>0$ $(<0)$ ise $k\cdot m>2016\cdot 2$ $(<-2016\cdot 2)$ olan bir $m$ pozitif tamsayısı vardır.

$x=a-m, n=m$ için

 $|\sum_{i=1}^m{i(f(x+i+1)-f(f(x+i)))}|=|\sum_{i=1}^{m-1}{i(f(x+i+1)-f(f(x+i)))+k\cdot m}|<2016$

$k\cdot m>2\cdot 2016$ $(<-2\cdot 2016)$ olduğundan $\sum_{i=1}^{m-1}{i(f(x+i+1)-f(f(x+i)))}<-2016$ $(>2016)$ olmalıdır, ki bu da $x=a-m, n=m-1$ aldığımızda çelişki verir.

O zaman her $a$ için $f(a+1)=f(f(a))$, fonksiyonun birebirliğinden dolayı $f(a)=a+1$