4. dereceden polinom P(-2) {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (İlham Aliyev): $4.$ dereceden $P(x)$ polinomu, her $k=0,1,2,3,4$ için $P(k)=\dfrac{k^2}{k+1}$ eşitliğini sağlıyorsa, $P(-2)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ -2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ -4 \qquad\textbf{e)}\ 1$

[Arman]

$(x+1).P(x)-x^2=Q(x)$ olacak şekilde $Q(x)$ polinomu tanımlayalım.


$der[Q(x)]=5$


$Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0 \Longrightarrow Q(x)=a.(x).(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)$


$\Longrightarrow P(x)=\dfrac{a.(x).(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)+x^2}{x+1}=\dfrac{R(x)}{x+1}$


$(x+1)|R(x)\Longrightarrow R(-1)=0 \Longrightarrow a.(-1).(-2).(-3).(-4).(-5)+1=0 \Longrightarrow a=\dfrac{1}{5!}$


Artık $P(-2)$'yi bulabiliriz.    $P(-2)=\dfrac{\dfrac{1}{5!}.(-2).(-3).(-4).(-5).(-6)+4}{-1}=\dfrac{-6+4}{-1}=2$

[alpercay]

Daha genel anlamda "Analiz ve Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri" isimli kitapta aşağıdaki problem mevcut.

2.14.   Derecesi $n\gt 1$  olan  her   $k=0,1,2,...,n$   için    $P(k)=\dfrac{k}{k+1}$   eşitliğini sağlayan  bir  $P$   polinomu veriliyor.   $P(n+1)$   değerini hesaplayınız.

[alpercay]

Verilen zarif çözümün yanında herkesin aklına gelebilecek olan iptidai bir şekilde polinomu $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$ şeklinde alarak $x=1,2,3,4$  için Cramer kuralı ile katsayıları bulsaydık  $P(x)=\dfrac{1}{120}x^4-\dfrac{11}{120}x^3+\dfrac{23}{60}x^2+\dfrac{1}{5}x$    olacaktı.