trigonometrik üslü eşitlik

[KereMath]

${{2}^{{{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{2}}x}}-{{2}^{{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x}}=\cos 2x$ eşitliğini çözünüz.

[Metin Can Aydemir]

$sin^4x-cos^2x=2a$ ve $cos^4x-sin^2x=2b$ olsun.$$2b-2a=cos^4x-sin^2x-sin^4x+cos^2x=(cos^4x-sin^4x)+(cos^2x-sin^2x)=2cos2x \Rightarrow b-a=cos2x$$ olur.

Yerine yazarsak, $$4^a-4^b=b-a \Rightarrow 4^a+a=4^b+b$$ olur. $f(x)=4^x+x$ için $f'(x)=4^x\cdot ln4+1\geq 0$ olduğundan $f(x)$ artandır.Dolayısıyla çözüm olması için $a=b \Rightarrow cos2x=0$ olmalıdır.

$cos2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi$ ve $x=\dfrac{3\pi}{4}+k\cdot \pi$ çözümleri bulunur.