(İngilizce çok iyi ifade edemeyeceğimi düşündüğümden ve soruyu yollayan kişinin soruyu çok önce yollamış olmasından dolayı Türkçe çözüm yolluyorum.)
İlk olarak $f(x)=2^x+2^{-x}$ ve $g(x)=4\cos(e^x)$ diyelim ve bunların karakteristiklerini inceleyelim. $f(x)$ çift fonksiyondur ve grafiği bir parabol gibi görünmelidir. $g(x)$ için ise biraz daha ayrıntılı incelememiz gerekecek.
İlk olarak $g(x)$'i negatif $x$ değerleri için inceleyelim. Kosinüs ifadesinin içerisinde $e^x$ bulunmaktadır ve $e^x$ negatif değerlerde sürekli artandır ve $0$ ile $1$ arasında bulunmalıdır. Yani negatif sayılarda $4\cos(e^x)$ ifadesinin aldığı değerler $4\cos(x)$' in $0<x<1$ arasında aldığı değerler olabilir. Yani $g(x)$'in gösterdiği grafik $y=4$ asimptotuna sahip olup negatif sayılarda azalarak gelir ve $x=0$'da $4\cos(1)$ olur. $4\cos(1)$' in değeri hakkında yorum yapalım. $1<\frac{\pi}{3}$ olduğundan $4\cos(1) > 4\cos(\frac{\pi}{3})$ yani $4\cos(1) > 2$ olur. $f(x)$' in $x=0$ da yerel minimum değerinin $2$ olduğunu biliyoruz. $g(x)$ ise $x=0$' da $2$' den büyüktür. Negatif sayılarda bir adet kökümüz olduğunu buradan çıkartabiliriz çünkü $g(x)$ için $y=4$ üst sınırı vardır ama $f(x)$ için öyle bir sınır yoktur. Yani negatif sayılarda bir yerde $f(x)$, $g(x)$' in değerlerini geçmeli yani o noktada kesişmelidirler.
Pozitif sayılar için $g(x)$ giderek frekansı artan ve $-4\leq y\leq 4$ arasında salınan bir sinüs dalgası gibi davranmalıdır. Çünkü içerisinde bulunan $e^x$ için pozitif sayılarda bir üst sınır yoktur ve artış hızı yani türevi giderek artacağından frekansı artacaktır. $f(x)$ ise parabol gibi sürekli artacaktır. Ayrıca $f(x)=4$ denklemini çözdüğümüzde pozitif kökümüz $\log_{2}(2+\sqrt{3})$ gelmektedir. Yani $f(x)$ ile $g(x)$ kesişecek ise $x=\log_{2}(2+\sqrt{3})$'e kadar kesişmelidir. $g(x)$, $0\leq x\leq \ln(\pi)$ arasında sürekli azalır ve $x=\ln(\pi)$ için $-4$ değerini alır. $g(0)>f(0)$ olduğu için $0\leq x\leq \ln(\pi)$ sağlayan bir kökümüz vardır. $g(x)$, $\ln(\pi)\leq x\leq \ln(2\pi)$ arasında sürekli artar ve $f(x)$ ile bir daha kesişirler çünkü $f(x)$, $\ln (2\pi)<\log_{2}(2+\sqrt{3})<\ln (3\pi)$ eşitsizliğinden dolayı hala $y=4$ değerine ulaşmamıştır. $g(x)$, $\ln(2\pi)\leq x\leq \ln(3\pi)$ arasında sürekli azalır ve $f(x)$ ile bir daha kesişirler. Bundan sonra başka kök yoktur çünkü artık $f(x)>4$ olmuştur. $1$ adet negatif $3$ adet pozitif olmak üzere $4$ adet kökümüz olmaktadır.
