Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

$x$ bir gerçel sayı ise $\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2-14x+58}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{39}
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{43}{6}
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}+\sqrt{13}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$f(x)=\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2-14x+58}=\sqrt{(x-3)^2+2^2}+\sqrt{(x-7)^2+3^2}$ olarak yazalım. Analitik düzlemde $x$ ekseni üzerindeki değişken bir $P(x,0)$ noktası ve sabit $A(3,2)$, $B(7,3)$ noktalarını gözönüne alalım. $|PA|=\sqrt{(x-3)^2+2^2}$ ve $|PB|=\sqrt{(x-7)^2+3^2}$ olduğundan $f(x)=|PA|+|PB|$ olur. $B$ noktasının $x$ eksenine göre simetrisi $C(7,-3)$ olsun. $|PB|=|PC|$ olduğundan $f(x)=|PA|+|PC|$ yazılabilir. Üçgen eşitsizliğinden $|PA|+|PC| \leq |AC|=\sqrt{41}$ dir. Eşitlik hali $A,P,C$ doğrusal iken sağlanır. Yani $f_{\min}=\sqrt{41}$ dir.