Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 25

[ERhan ERdoğan]

$ABCDE$ düzgün dışbükey beşgeninin alanının, kenarları $AC,CE,EB,BD,DA$ doğruları üstünde yer alan düzgün dışbükey beşgenin alanına oranı nedir?


$
\textbf{a)}\ \dfrac{41}{6}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3+5\sqrt{5}}{2}
\qquad\textbf{c)}\ 4+\sqrt{5}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

İkinci düzgün beşgenin ilk beşgenin $A$ dan çıkan köşegeni üzerinde yer almayan köşegeni $A'$ olsun. Benzer şekilde $B', C', D', E'$ köşeleri tanımlansın.

$D'E'=1$ ve $AB=BC=x$ dersek bu durumda bize alanlar oranı, yani $x^2$ soruluyor.

$CD'=BC=1 \Rightarrow E'C=E'B=x-1$.
$\triangle BE'C \sim \triangle ABC \Rightarrow \dfrac{x-1}{x} = \dfrac {x}{2x-1}$.

$2x^2 - 2x + 1 = x^2 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \dfrac {3 \pm \sqrt 5}{2} $.
$x>1$ olduğu için $x=\dfrac{3+\sqrt 5} 2 \Rightarrow x^2 = \dfrac {7+3\sqrt 5 }{2}$.