Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 33

[ERhan ERdoğan]

Bir birim küreye içten ve köşeleri bu küre üstünde yer alan düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne de dıştan teğet olan kürenin hacmi en çok ne olabilir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{2}\left ( 1-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right )
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-1 \right )
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıtla: $\boxed{E}$

$ABCD$ düzgün dörtyüzlüsünün çevrel küresinin merkezi $O$ olsun. $OC=OB=OD=1$ ve $AC=AB=AD$ olduğu için $A$ dan $BCD$ düzlemine inilen dikme $O$ dan geçer. Dikmenin ayağına $H$ diyelim.

$H$ noktası $BCD$ eşkenar üçgeninin ağırlık merkezidir. Dörtyüzlünün bir kenarına $a$ dersek, $BH=\dfrac {a}{\sqrt 3}$.
$\angle BAH = \alpha$ dersek $\angle BOH = 2\alpha$ ve $OH = OB \cdot \cos 2\alpha = \cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha = 1 - 2\cdot (1/\sqrt 3)^2 = \dfrac 13$.
Dörtyüzlünün $BCD$ yüzüne dıştan teğet ve birim küreye içten teğet olan en büyük kürenin merkezi $OH$ üzerindedir. Bu durumda kürenin çapı $1 - OH = \dfrac 23$, kürenin yarıçapı $\dfrac 13$ oluyor.

Kürenin hacmi $\dfrac 43 \cdot \pi \cdot (1/3)^2 = \dfrac{4\pi}{27}$ çıkar.