karede uzunluk {çözüldü}

[NazifYILMAZ]

Bir $ABCD$  karesinin iç bölgesinde herhangi bir $E$ noktası alınıyor. $|AE|\perp |EB|$, $|AE|= 4$, $|DE|=5$ ise $|BE|$ nin alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11 $

[KereMath]

Yanıt: $\boxed{B}$

$AEB$ üçgeninde $E$ den $AB$  ye dik indirelim inilen dik ayağı $H$ olsun. Öklid teoremine göre $|AH|=\dfrac{16}{(x^2+16)^{1/2}}$ olur. $E$ den $DC$ ye inilen dik ayağı $G$ olsun. Karenin bir kenarı $(x^2+16)^{1/2}$ olduğu için $|EG| =
 \dfrac{x^2-4x+16}{(x^2+16)^{1/2}}$ olur. Oluşan $DGE$ dik üçgeninde hipotenüs $5$ olup kenarlar $|AH|$ ve $|GE|$ ye eşittir. Burada Pisagor teoremi yaparsak ve düzenlersek $x^4 - 8x^3 + 23x^2-128x+112=0$ elde ederiz.Bu ifade $(x-1)(x-7)(x^2+16)=0$ ya eşit olup alabileceği tamsayı değerleri $1$ ve $7$ dir. $1+7=8$ olduğundan cevap $8$ dir.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$D$ noktasından $AE$ ye inilen dikme ayağı $F$ olsun. $|AD|=|AB|$ olduğundan $ADF$ ve $BAE$ dik üçgenleri eştir. $F$ noktası $[AE]$ üstünde veya $[AE]$ nin uzantısı üstünde olabilir. $|BF|=x$ olsun. $DEF$, kenarları $3,4,5$ olan dik üçgendir. İki farklı durumu da şekilde gösterelim.

$F\in [AE]$ durumundan $|BE|=|AF|=x_1=|AE|-|EF|=4-3=1$ dir.

$F \not\in [AE]$ durumundan $|BE|=|AF|=x_2=|AE|+|EF|=4+3=7$ dir.

Böylece $x_1+x_2=8$ bulunur.