$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$ denklemini çözerken öncelikle kullanışlı bilgiler bulalım .
Varsayalım ki $(x_0,y_0)$ bir çözüm olsun. O halde $(x_0,-y_0)$ da bir çözümdür.
$1+2^x+2^{2x+1}>0$ olduğundan $y^2>0$ olur. O halde genelliği kaybetmeden $y>0$ alabiliriz.
$x=0$ için çözümleri bulalım. $1+1+2=y^2$ yani $(0,2)$ ile $(0,-2)$ çözümleri bulunur.
Buradan sonra $y>0$ ve $x>0$ için çözümleri bulalım.
$y^2-1=2^x.(2^{x+1}+1)$ olur.
Şimdi bu denklemi çözmek için hangi ifadenin hangi ifadeyi böldüğünü bulalım.
öncelikle $x$'in $1$ veya $2$ için olamayacağını görelim.
$x=1$ ise $11=y^2$ olur , sağlamaz.
$x=2$ ise $37=y^2$ olur , sağlamaz.
O halde $x\ge3$ olmalıdır.
$2\mid y-1$ ya da $2\mid y+1$ olacağı açıktır. iki durumda da $y-1$ ve $y+1$ çifttirler ve ardışık olduklarından içlerinden biri $4$ ile bölünür.
yani $x=3$ için biri $4$ ile diğeri $2$ ile bölünür.
$x=4$ için yine biri $4$ biri $2$ ile bölündüğünden ya biri $8$ diğeri $2$ ya da her ikisi de $4$ ile bölünmelidir. Fakat ardışık çift sayıların ikisi birden $4$ e bölünemez.
O halde içlerinden biri $2^3$ ile diğeri $2$ ile bölünür.
$x\ge3$, $x=x$ için bakarsak kalanlar arası fark $2$ olması gerektiğinden dolayı içlerinden biri yalnızca $2$ ile bölünür diğeri $2^{x-1}$ ile bölünür.
$y\pm1=m.2^{x-1}$ , $y=m.2^{x-1}+k$ , $k=\pm1$ , $m\in Z^+$ olur. Bu bilgiyi alıp ilk denkleme koyalım.
$2^x.(2^{x+1}+1)=(2^{x-1}.m+k)^2-1$ yani $1+2^{x+1}=2^{x-2}.m^2+mk+k^2-1$ olur. $k=\pm1$ olduğundan dolayı $k^2=1$ yani $k^2-1=0$ olur.
$1+2^{x+1}=2^{x-2}.m+mk$
$1-mk=2^{x-2}.(m^2-8)$ olur.
$1)$ $k=1$ için $1-m=2^{x-2}.(m^2-8)$ bu ifadenin ise $m=2$ dışında çözümü yoktur. çünkü $m=1$ ise sağ taraf $0$ dan büyüktür. $m>2$ için sol taraf negatifken sağ taraf pozitiftir.
$m=2$ için ise sol taraf tek sayı olacağından dolayı çözümü yoktur. O halde $k=-1$ olmalıdır.
$2)$ $k=-1$ için $1+m=2^{x-2}.(m^2-8)$ , $x\ge3$ olduğunu söylediğimiz için $1+m=2^{x-2}.(m^2-8)\ge 2.(m^2-8)$ olur.
$2m^2-m-17\le0$ eşitsizliği elde edilir. $m=4$ için $32-4-17>0$ olur. $f(m)=2m^2-m-17$ şeklinde düşünürsek $f'(m)=4m-1$ yani $m\ge4$ için $f(m)>0$ ve $f'(m)>0$ olduğundan daima artandır ve sıfırdan büyüktür.
Aynı zamanda $m^2-8>0$ olduğundan dolayı $m>2$ olmalıdır. $2<m<4$ elde edilir. yani $k=-1$ ,$m=3$ olmaldıır.
$1+3=2^{x-2}.1$ buradan $x=4$ elde edilir. $y=m.2^{x-1}+k$ ifadesinde $k=-1$ $m=3$ ve $x=4$ yerleştirilirse $y=23$ elde edilir.
O halde denklemin tüm çözümleri $(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)$ olarak bulunur.
