Geometri açı hesaplama sorusu {çözüldü}

[AtakanCİCEK]

Bir $ABC$ üçgeninde $\mid AC \mid>\mid BC \mid$ ve $[CM]$ kenarortay ve $[CH]$ yüksekliktir. $m(\widehat{ACM})=m(\widehat{BCH})=17^\circ $ ise $m(\widehat{MCH})$ kaç derecedir?

[AtakanCİCEK]

Şekile ek çizim yapmadığım için çizilmiş halini vermeye gerek duymadım.

$\mid BM \mid = \mid AM \mid =a$ olsun, $\mid MC \mid = b$ olsun .

$BMC$  üçgeninde sinüs teoreminden $$\dfrac{b}{sin(73-a)^{\circ}}=\dfrac{a}{sin17^{\circ}}$$

$AMC$  üçgeninde sinüs teoreminden $$\dfrac{a}{sin(a+17)^{\circ}}=\dfrac{b}{sin73^{\circ}}$$

$\dfrac{a}{b}$  değerlerini eşitleyip içler dışlar çarpımı yaparsak

$$sin(a+17).sin(73-a)=sin17^{\circ}.sin73^{\circ}$$

Yarım açı formüllerine benzeterek $$ sin(2a+34)^{\circ}=sin34^{\circ}$$  olur.

$2a^{\circ}+34^{\circ}=34^{\circ}$ veya $2a^{\circ}+34^{\circ}=146^{\circ}$ olması gereklidir. (Üçgenin iç açısı $180^{\circ}$ den küçük olmasından dolayı $360k^{\circ}$  ifadesini eklemedik.)

Eğer $M$ ile $H$ çakışık değil ise $m(\widehat{MCH})=56^{\circ}$  olarak bulunur.

Eğer $M$ ile $H$ çakışık ise böyle bir açı yoktur ve bu durum ancak $73^{\circ}-34^{\circ}-73^{\circ}$ üçgeninde geçerlidir. (İkizkenar üçgenin yüksekliği kenarortayı ile özdeştir.) Ancak $\mid AC \mid > \mid BC \mid $ olduğu için bu durum imkansızdır.

[Eray]

$ABC$ üçgenin çevrel çemberinin merkezini $O$ ile gösterelim. İyi bilindiği üzere $\angle BCH = \angle OCA$ dır, dolayısıyla $O$ noktası $CM$ doğrusu üzerindedir. Bunun yanında, çevrel çemberin merkezinin özelliği gereği $O$ noktası $[AB]$ doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. Şu halde iki ihtimal söz konusudur:

• $CM\perp AB$ ise $H$ ve $M$ noktalarının çakışık olması, dolayısıyla $ABC$ üçgeninin $AB$ tabanlı ikizkenar bir üçgen olması gerekir, ancak soruda verilen $|AC|>|BC|$ koşulu bu durumu imkansız kılmaktadır.
• $CM\not\perp AB$ ise zikredilen iki şartı sağlayan tek noktanın $M$ noktası olduğu açıktır. Bu durumda $M$ ve $O$ noktaları çakışıktır, yani $\angle BCA=90^\circ\Longrightarrow \boxed{ \angle MCH=56^\circ }$ olur.

[AtakanCİCEK]

Aslında soruda verilen eşitlik bize $CH$ ın bir simedyan olduğunu söyler çünkü kenarortayın izogonal eşleniği simedyandır.

$\mid BH \mid=x$ , $\mid HA \mid =y$ ve $\mid HC \mid =z$ olsun. Pisagor teoremlerinden

$\mid BC \mid ^2=x^2+y^2$ , $\mid AC \mid^2 =y^2+z^2$ bulunur. Simedyan teoreminden

$\dfrac{\mid BC \mid^2 }{\mid AC \mid^2}=\dfrac{\mid BH \mid}{\mid HA \mid}=\dfrac{x}{z}=\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}$ olduğunu biliyoruz.  İçler dışlar çarpımı yapalım.

$xy^2+xz^2=x^2z+y^2z$

$y^2.(x-z)=xz.(x-z)$ elde edilir. $x=z$ olmaması istendiğinden dolayı $y^2=xz$ bulunur.  Buradan $\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\tan17$ bulunur. Bu da bize $ |CM| = |AM| $ olduğunu verir.  İstenen açı da buradan

$m(\widehat{MCH})=56^{\circ}$ bulunur.

[geo]

2004 2. Aşama/Soru 1