Dış Merkez, Uzunluk, Açı {çözüldü}

[Bozkurt]

Şöyle bir soru kurgulamaya çalıştım, beğenilerinize sunulur:

Bir ABC üçgeninin BC kenarına değen dış teğet çemberinin merkezi D olmak üzere m(ABC) = 2m(ACB) ve |AD|=|AB|+|AC| ise ABC üçgeninin açılarını bulunuz.

[Bozkurt]

$m(ABC)=4a$, $m(ACB)=2a$ ve $AD$'nin $BC$'yi kestiği nokta $E$ olsun. Bu durumda $m(BCD)=90-a$ ve $m(ADC)=2a$ olacağından $|DE|=|DC|...(*)$ olur. Dış açıortay teoreminden ve soruda verilen uzunluk bilgisinden ve $(*)$ eşitliğinden ötürü $|DE|/|DA|=|BE|/|AB|=|EC|/|AC|=(|BE|+|EC|)/(|AB|+|AC|)=|BC|/|AD|⇒|DC|=|BC|$ olur ki bu $a=18$ olduğunu gösterir. Demek ki $ABC$ üçgeni bir $72-72-36$ üçgenidir.