Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 3

[ArtOfMathSolving]

Katsayıları tam sayılardan oluşup baş katsayısı $1$ olan $f$ polinomu:
öyle bir $N$ tam sayısı vardır ki, $f(p)$ yi pozitif yapan her $p>N$ asal sayısı $2(f(p)!)+1$ sayısını bölüyor
koşulunu sağlıyor. Tüm $f$ polinomlarını bulunuz.

[nk6]

$f$ polinomunun derecesi bariz bir şekilde $0$ olamaz. Eğer derece en az $2$ ise öyle bir $M$ sayısı bulunur ki her $k>M$ tam sayısı için $f(k)>k$ olsun. Bir $p>M$ asalı alırsak $p \mid 1$ olur, çelişki.

O zaman $f(x)=x-b$, $b>0$ formatında olmalıdır. ($b\leq 0$ için aynı çelişkiyi tekrar yaşayacağımızı gözlemleyelim) Yeterince büyük her $p$ asalı için $f(p)$ pozitiftir,

$2\cdot (p-b)! \equiv -1\,\, (mod\,\, p)$ olur.

Wilson teoreminden $(p-1)!\equiv -1\,\, (mod\,\, p)$, yerine yazıp sadeleştirirsek

$(-1)\cdot (-2)\cdot\ldots\cdot (-b+1) -2\equiv 0\,\, (mod\,\, p)$ olur.

$p>>(b-1)!$ seçebiliriz, $|(-1)\cdot (-2)\cdot\ldots\cdot (-b+1) -2|<p$ olur.

Dolayısıyla $(-1)\cdot (-2)\cdot\ldots\cdot (-b+1)=2$ olmalıdır, tek çözüm $b-1=2$ iken gelir.

Tek çözüm olan $f(x)=x-3$ polinomunun şartı sağladığı kolayca görülebilir, q.e.d