Üçgende Açı 6-18-42-96

[samuraTy]

Hem Orhan Hocamın kulakları çınlasın istedim,hemde arşivde olması gerektigini düşündüm,resim büyüklügü için özür ancak bu kadar olmuştu.Saygılarımla

[Teknokrat]

Hocam öncelikle zihninize sağlık gerçekten çok güzel çözüm olmuş.Fakat birşey söylemek istiyorum madem ki
konuyu açtınız.Bu soruyla daha önce ben de baya uğraşmıştım, geometrik bir çözüm arıyordum.Sonradan bu tip komşu olmayan iki açı verildiğinde bu üçgenlerin geometrik olarak çözülemeyeceğini düşündüm.(Soruyu elde etme metodu hariç)Çünkü şekli kağıda çizip
x>y için çözüm istenince üçgenin kağıt üzerindeki konumu önem kazanıyor.İki farklı durum oluncada ortaya göz kararı uzunluklarla kesin bir sonuca ulaşabilme durumu çıkıyor.Sonra eşitsizlikleri belirterek çözüm bulmaya çalıştım, yazdıkça yazıyordum sonu gelmiyordu. Sonuç olarak bu tip bir sorunun sentetik olarak çözülemeyeceğini düşünüp bıraktım soruyu.Şimdi sizin çözümü örnek vererek genel birşey sormak istiyorum.Şeklin bu iki durumdan farklı başka bir durumun olmadığı kesin olarak biliniyor.Sorunun kendisini bulmak bu soru için tam bir geometrik çözüm olarak kabul edilebilir mi?
Mesela siz en başta m(DBC) açısının 12 veya 6 olabileceğini tahmin edip 6 olarak almışsınız sonuçta kalan 2 açı da sağlandı.Tabi bu üçgen daha değişik yollarla da elde edilebilirdi illaki 96-42-42 üçgeninin üzerinde göstermek gerekmezdi 48-66-66-... üçgenini de bölünce bu üçgen çıkıyor kolayca.Ama sorudan bağımsız olmuş oluyor.


Bu linkteki soru içinde aynı şeyi düşünüyorum Murat Yalçın hocam yardımcı üçgeni kullanarak açıları bulmuş.
http://www.geomania.org/index.php?topic=356.0

[gmuratyalcin]

teknorat kardeş aslında soru nun genel halini elde etmek bir  çözummudur tartısılır
ama çok rahat kolaylılar sağladıgı kesin....
bazen çözume ulsama adına...

[Lokman Gökçe]

Mustafa kardeşim, sorunun-çözümün neresine takıldığını anlayamadım. Şekil iki türlü çizilebildiği için iki farklı sonuç çıkar. bazı eşitsizlikler ile kısıtlamalar yapılınca, çözüm sayısı tek çözüme indirilebiliyor. burada da herbir durum için tek çözüm vardır. çözümlerde sentetik olmayan birşey göremedim. linkteki iki farklı duruma bakıyorum.orda da sentetik olmayan birşey göremedim.

iki çözüme sahip AC = 7, AB = 8, m(ABC) = 60^o ise BC = ? sorusu sentetik geometri problemi ise (ki öyledir), cevabı trigonometrik ceva ile elde edilen iki çözümlü sorular da sentetik geometriye ait problemlerdir.

merak edilen yeri tam anlayamadığım için soruna cevap verebildim mi kestiremiyorum.trigonometrik çözümler sentetiktir. içinde limit, türev,inregral ... vs kullanılan çözümler sentetik değildir. yapılan çözüm sentetik midir diye soruluyorsa, evet sentetiktir.

[Teknokrat]

Geometrik anlamında söyledim.Soruda murat hocam sadece 42-42-96 üçgeninden başlayıp soruyu oluşturmuş çok daha değişik üçgenlerden de başlanıp soru farklı yerlerdende oluşturulabilir.Bu geometrik çözüm müdür?

Bazı eşitsizlikler ile kısıtlamalar yapılınca, çözüm sayısı tek çözüme indirilebiliyor demişsiniz geometrik olarak indirilemiyor işte bunu demek istemiştim.

[Lokman Gökçe]

bir problemin anlamlı olması için öncelikle 'varlık' sorunu aşılmalıdır. sorudan bağımsız olarak kendi kafamızdan bir şekil çizip, sonra orjinal soruyu da bu şeklin içinden elde edebiliyorsak 'sorunun hipotezine uygun en az bir şekil çizilebilir' demektir. yani, sorunun varlığında bir sıkıntı yoktur. daha sonra bir de 'teklik' sorunu aşılmalıdır. verilere uygun sonsuz çoklukta şekil çizilebiliyor da olabilir.sonsuz çoklukta şekil çizilemiyorsa neden çizilemez. 2 farklı şekil elde edilebiliyorsa neden sadece 2 farklı şekil elde edilir? türev kullanmaksızın bunlara cevap verdikten sonra diyelim ki bir şekilde şeklinizin 2 türlü çizilebilidiği sonucuna vadınız.sonra da sorudan bağımsız olarak başka şekiller çizerek orjinal problemdeki verilere uygun iki durumu elde ettiniz. çözümünüz sentetiktir, geometriktir. orjinal sorudan bağımsız olarak, başka birisi başka bir çizimle işe başladı. verilere uygun çizimleri elde etmeyi başardı. o da geometrik çözümdür. siz de 42-42-96 üçgeni ile başlamadan, başlangıçta sorudan alakasız gibi görünen diyelim ki 36-72-72... vs bir üçgenle çözüme başlayabilirsiniz. bu çözüm de geometriktir.

[Lokman Gökçe]

geometrik olarak tek çözüme-iki çözüme indirilemiyorsa, grafik çizimleri ile fonksiyonların kesişimi ile ...vs ile çözüm sayısı bulunabiliyorsa o çözüm geometrik olmaz.

[Lokman Gökçe]

x<y veya x>y kullanılarak yapılabilecek bir çözüm: bu kısıtlamalar ile tek çözüm elde edilebiliyor. x = 6, y =12 ve x = 12, y = 6 çözümleri bulunuyor.başka da çözüm olmadığını çember ve ışının iki tane kesişim noktası olduğuna dayanarak söylüyoruz.aşağıda yapılan her şey geometriktir.

BD kenarını 18^o lik açı ile gören noktaların geometrik yeri bir çember yayıdır.Bu çember yayını C₁, C₂ nokralarında kesen ve m(DAC) = 6^o olan ışını çizelim. C nin iki tane geometrik yeri vardır.yani, bu verilerle şekil iki türlü çizilebilir. biz bu şartlara uygun olan iki üçgen bulursak bunlar bizim aradığımız üçgenlerdir demektir.

1) bir sürü işlem yaptıktan sonra (sin6/sin12).(sin18/sin6).(sin42/sin96) = 1 olduğu gösterilebilir.
2) yine aynı şekilde (sin6/sin6).(sin18/sin12).(sin42/sin96) = 1 olduğu da gösterilebilir.yada kimine göre daha kolay gelecektir, şu problemler çözülebilir:

1) bir ABC üçgeninin içinden bir D noktası alınıyor öyle ki m(DAC) = 6, m(DCA) = 12, m(DAB) = 96, m(DBA) = 42. buna göre m(DCB) = ? cvp: (18^o)

2) bir ABC üçgeninin içinden bir D noktası alınıyor öyle ki m(DAC) = m(DCA) = 6 , m(DAB) = 96, m(DBA) = 42. buna göre m(DCB) = ? (cvp: 18^o)

bu iki problem geometrik yöntemlerle çözülebilir.birisini çözersek, trigonometik ceva gereğince diğeri de çözülmüş demektir.yeniden bir çizim yapılmasına gerek yoktur. ama arzu edilerise 2. problemde, birinci problemi hiç kullanmadan çözülebilir. Murat Ceyhan hocamızın yaptığı da budur. ikinci problemi çözmeye gerek yoktur...yolunu izlemeyi tercih etmiştir.doğrudur.

şimdi orjinal soruya dönersek,

eğer 1. problemdeki çizim yapılırsa: x = 12, y = 6 elde edilir. x > y  verisine uygun olan çizim budur. x/y = 2 dir.

eğer 2. problemdeki çizim yapılırsa x = 6, y = 12 elde edilir. x < y verisine uygun olan çizim budur. CD = DA = AB olduğundan CD/AB = 1 dir.

[Teknokrat]

Çok teşekkür ediyorum hocam, güzel bilgiler kafama takılmıştı baya bu soru.

O zaman şu soruda tersten gidip sorunun tek olduğunu da göstersek geometrik olarak çözülmüş müdür yani?

http://www.geomania.org/index.php?topic=37.0

[Lokman Gökçe]

tersten gidince sağlandığı bulunabiliyordu. kare sorusundaki sıkıntı: tekliği göstermekti. eğer bunu başarabilirsen, ancak bir ve yalnız bir, biricik, tek türlü çizim yapılabileceğini ispat edebilirsen soruyu çözmüş olursun. eğer, tekliği gösterirken sadece geometrik yöntemleri kullanırsan: sentetik çözüm bulmuş olursun.

teklik için uygun, kullanışlı ve sıkça başvurulan bir yol da bir f(x) fonksiyonu kurup türev almak suretiyle f' >0 artan (yada f' < 0 azalan) olduğunu göstermektir. dolayısıyla f nin birebir fonksiyon olduğu gösterilmiş olunur.dolayısıyla istenen durum sağlanan ancak bir x değeri vardır diye bir sonuca ulaşılır. tersten gidilerek o malum x değeri de zaten bulunmuş olduğundan başka bir çözüm daha yoktur denilerek mesele bağlanır.bu şekildeki türev destekli çözüm ise sentetik geometriye ait bir çözüm yöntemi değildir.ama doğru bir çözümdür. illa şu yöntemle soruyu çözeceksiniz diye kimse kimseyi kısıtlayamaz. matematik sınırları içerisinde kalmak şartıyla çözüme giden her yol serbesttir.kolay gelsin...

[Teknokrat]

Teşekkürler hocam.Tabiki de değişik şekillerde çözülebilir ben daha çok bu kısımla ilgilendiğim için merak etmiştim.

[samuraTy]

Sevgili Mustafa Hocam ben soruda hiçbir açıyı tahmin ederek yazmadım,çözümü dikkatli incelerseniz bu gözüküyor.Gerçi degerli hocalarım açıklama yapmışlar,bu da farklı bir çözüm.Saygılarımla

[Teknokrat]

Burda da yardımcı üçgen kullandınız Murat hocam yine sorunun üzerinden gitmediniz benim söylemek istediğimde buydu, 6 derecelik açıyı tahmin etmek veya etmemek değil o sadece bi yol.

[Teknokrat]

Bir de son olarak şunu soracam Mustafa Töngemen hocamızın sorusunu görünce aklıma geldi.
Aşağıda gifte sağ taraftaki 20-80-80 üçgeninin özelliğini biliyoruz.
Şöyle bir problem olsa:Pergel ve cetvel kullanarak bir 20-80-80 üçgeni, 80 derecelik açılardan biri 70,10 bölünecek şekilde nasıl çizilir.
Biz de 20-80-80 üçgeninde klasik eşitliği biliyoruz.Bu eşitliği kullanarak AB üzerinde BC uzunluğuna eş olacak şekilde nokta seçip C ile birleştirdiğimizde istenilen sonuç sağlanır.Bu çözüm geçerli midir?Yani buna benzer eşitlikler kullanıp Mustafa Töngemen hocamızın sorusunu çözsek kabul görür mü?

[Lokman Gökçe]

burada M.Töngemen hocamızın sorusu ile ilgili bir düzeltme yapayım. Bu soruda ben de takılmıştım.aklıma yatmayan bir nokta vardı: Elimizde pergel ve cetvelden başka 20^o lik bir de açımız var. yani 20^o yi çizebildiğimizi (20^o açıya sahip olduğumuzu) varsayarak kare içine eşkenar inşa etmemizi istiyor. Aksi bir halde 20^o nin pergel ve cetvelle elde edilemez olduğu gerçeğiyle çelişiyoruz. Hocamızla ile yazın görüşme şansım olmuştu, bu problemi de kendisinden çözmesini istemiştim. ''20^o olmak koşulu ile'' derken hocamız, 20^o nin verilmiş olduğunu kastetmiş.

diğer 20-80-80 sorusuna gelince: şu soruyu soralım. 20-80-80 üçgeni başlancıçta veriliyor mu yoksa bu 20-80-80 i önce inşa edip sonra da 80 den birisini 10-70 şeklinde bölmemiz mi isteniyor.

Eğer 20-80-80 başlancıçta veriliyorsa çözüm kolaydır. pergelin bir ayağı eş açılı köşelerden birine, diğer ayağı da eş açılı köleşerden diğerine koyulup BC taban mesafesi bulunur.sonra cetvelin bir ayağı tepe açısının olduğu köşeye, yerleştirilip BC kadar yarıçaplı çember çizilir. Bu çemberin AB (veya AC) kenarını kestiği nokta D olarak işaretlenip CD çizilir. Tabii ki C açısı 10-70 şeklinde ikiye bölünür.

Eğer 20-80-80 baştan verilmeyip bizden bunu da inşa ederek çizime başlamamız isteniyorsa bunu yapabilecek insanoğlu yoktur. çünkü en küçük pozitif tamsayılı açı olarak pergel ve çentiksiz (üzerinde ölçeği olmayan) cetvel ile 3^o inşa edilebilir, gerçeği ile çelişiriz. Gauss ispatlamıştır ki ancak ve ancak 2²ⁿ + 1 bir asal olmak üzere 2²ⁿ + 1 kenarlı düzgün çokgenler çizilebilir. yani 360^o ı 2²ⁿ + 1 'e bölmeye kadiriz. 1/(2²ⁿ + 1) = 1^o dersek buradan n pozitif tamsayısı çözüm bulunamaz. 1^o lik açı da çizilemez. 10^o lik açı da çizilemez. çünkü 10 = 1 (mod3) olduğundan 10^o nin çizilmesi, 1^o nin çizilmesine eşdeğerdir.

Son olarak yardımcı üçgen kullanma meselesi var. Yardımcı üçgen kullanmak çözümün geometrik olmasına zarar vermez. isteyen kullanabilir. Kimisi de sabit açılı yardımcı üçgenlerden hoşanmayıp, değişken bir nokta için sabit bir uzunluklar oranı bulmak, sabit bir açı, bir diklik yada bir paralellik elde etmekten haz alır. nokta değişken olduğu halde, korunan bir çembersellik, noktadaşlık yada bir doğrusallığa ulaşmayı sever. Benim eğilimim de bu yöndedir ve gelişen geometrinin yolunun, değişken noktaları barındıran ve diklikler, noktadaşlıklar... vs kural içeren geometride olduğunu düşünürüm. Bir sezgi, bir öngörü benimkisi. Doğru olup olmadığını ise ilerleyen yıllar gösterecektir. geometrisini güçlendirmek için bir öğrenci benden tavsiye isteydi, sıkı trgionometri ve hesaplama problemlerinin ardından, diklik, paralellik,çembersellik ispatları gerektiren problemlerle uğraşmasını önerirdim. Yardımcı üçgenler de, çembersellikler de,trigonometri de ... bunların hepsi geometrinin içinde var. İnsan sevmediği işi yapamaz yada kötü yapar. Sevdiği işi ise çok iyi yapar. Dolayısıyla burda da zevk olsun diye iş yaptığımızdan, herkes sevdiği şekilde sorusunu kurup, çözümünü yapacaktır. iyi çalışmalar ...