Dik Üçgende İç Kare

[ERhan ERdoğan]

Problem (E.Erdoğan) : $\angle{A}=90^\circ$ olan $ABC$ dik üçgeninin içerisine $K\in \left [ AB \right ] , N\in \left [ CA \right ]$ ve $\left [ LM \right ]\in \left [ BC \right ]$ olacak şekilde $KLMN$ karesi çizilsin. $\left [ BN \right ]\cap \left [ CK \right ]=\left \{ P \right \}$ ve $T\in \left [ BC \right ]$ olmak üzere  $\left [ PT \right ]\perp \left [ BC \right ]$ dir. Buna göre, $\left | PA \right |=\left | PT \right |$ olduğunu gösteriniz.

[Bozkurt]

$P$'den geçen ve $BC$'ye paralel olan doğruyu çizelim. Bu doğrunun $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını kestiği noktalar sırayla $Q$ ve $R$ olsun. $KBCN$ dörtgeni bir yamuk olduğu için buradaki benzerliklerden kolayca görüleceği üzere $|PQ|=|PR|$ dir. Bu durumda muhteşem üçlüden ötürü $|AP|=|PQ|=|PR|$ olur. $BPQ$ ve $BNK$ üçgenleri ile $BTP$ ve $BMN$ üçgenleri arasındaki benzerlik ve $|KN|=|NM|$ eşitliği göz önüne alınırsa $|PQ|=|PT|$ neticesine varılır. $|PQ|$ da zaten muhteşem üçlüden ötürü $|AP|$ ye eşitti.