Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2002 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. $x$, $y$ $x+y<n$ koşulunu sağlayan negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; $T$ ile düzlemdeki $(x,y)$ noktalarının kümesini gösterelim. $T$ deki her nokta kırmızı ya da maviye boyanıyor. Bir $(x,y)$ noktası kırmızı ise, $T$ deki $x'\leq x$ ve $y'\leq y$ eşitsizliklerinin ikisini de sağlayan $(x',y')$ noktaları da kırmızıdır. Farklı $x$-koordinatına sahip $n$ mavi noktadan oluşan bir kümeye $X$ kümesi, farklı $y$-koordinatına sahip $n$ mavi noktadan oluşan bir kümeye $Y$ kümesi diyelim. $X$ kümelerinin sayısı ile $Y$ kümelerinin sayısının eşit olduğunu kanıtlayınız.