23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI

[osman211]

SORULARI ÇÖZEN VAR MI? ÇÖZDÜYSENİZ ÇÖZÜMLERİ BERABER PAYLAŞALIM BU KISIMDA

Edit: Soruların pdf dosyası ilk mesaja eklenmiştir. (Scarface)

[Dogukan6336]

Bu seneki sorular kolay olmuş gibi. A kitapçığına göre karışık başlıyorum ben.

22.

Yanıt : C

$x + \dfrac {1} {x} + 2 = \dfrac {2x+1} {x} + x $ şeklinde yazılıp $AO \geq GO$ uygulanırsa

$\dfrac {2x+1} {x} + x \geq 2\sqrt {2x+1}$

Elde edilir. O zaman

$\dfrac {2x+1} {x} + x + \dfrac {2y+1} {y} + y + \dfrac {2z+1} {z} + z \geq 2(\sqrt {2x+1} + \sqrt {2y+1}+\sqrt {2z+1})$

Eşitlik durumunun sağlanması için $\dfrac {2x+1} {x} = x$ olmalı. Yani $x=y=z$ olmalı. Denklem çözülürse $x=\sqrt {2}+1$ olur. $xyz=x^3=7+5\sqrt {2}$

[Dogukan6336]

10.

Yanıt : C

$x=1$ in denklemi sağladığı rahatça görülebilir. $a+1+c=3$ ve $a+c=2$ gelir. İfadeyi düzenleyelim

$(a^2 - 4a - c^2)^2 = ((a-2)^2 - c^2 - 4)^2 = ((a-c-2)(a+c-2) - 4)^2 = (-4)^2 = 16$

[Dogukan6336]

16.

Yanıt : D

$\dfrac {1} {a_{n}^2 + {a_{n}.a_{n+1}}+ a_{n+1}^2} = \dfrac {a_{n+1} - a_{n}} {a_{n+1}^3 - a_{n}^3}$

$a_{n+1}^3 - a_{n}^3 = 1$ ve $a_{0}=0$ olursa

$a_{1} - a_{0}$

$a_{2} - a_{1}$

$.$

$.$

$a_{n+1} - a_{n}$

Toplamı $a_{n+1}$ e eşit olur ve soruda istenen elde edilir. Şimdi $a_{16}$ yı bulmaya çalışalım.

$a_{8}^3 - a_{9}^3=-1$

$a_{9} - a_{10}=-1$

$.$

$.$

$a_{15}^3 - a_{16}^3=-1$

Taraf tarafa toplanırsa

$a_{8}^3 - a_{16}^3=-8$

ve $a_{16} = 2\sqrt[3]{2}$

[Dogukan6336]

8.

Yanıt : B

Birbirinden farklı hangi $n$ değerleri için eşit onu bulmalıyız. Önce işimizi kolaylaştırmak adına

$\dfrac {n^2+3} {n^2+n-3} = 1 + \dfrac {6-n} {n^2 + n - 3}$

Birbirinden farklı $x$ ve $y$ alalım.

$1+\dfrac {6-x} {x^2 + x - 3} = 1 + \dfrac {6-y} {y^2 + y - 3}$

Denklemini çözmeye çalışacağız. Düzenlenirse

$(y-x)(6x+6y+3 - xy)=0$

İlk çarpan $0$ olamayacağından ikinci çarpan $0$ olmalı.

$xy-6x-6y-3=0$

$(x-6)(y-6)=39$

$39$ un pozitif bölen sayısı $4$ olduğundan $4$ farklı $(x,y)$ sırali ikilisi var bunu çözen. Denklem simetrik olduğundan $(a,b)$ bir çözümse, $(b,a)$ da bir çözümdür. İkisini birden alamayız. Kümeden fazla eleman çıkarmış oluruz. O zaman $4/2=2$ eleman çıkarmalıyız kümeden. $2018-2=2016$ olur.

[Metin Can Aydemir]

11. Soru

Cevap: D

Öncelikle $OA$ doğrusuna $A$'da dik olan doğruyu çizelim. Bu doğru $y=x$ doğrusunu $P$, $x$ eksenini $R$'de kessin.$ABC$ üçgeninin çevresinin minimum olması için $ABC$'nin $OPR$'nin ortik üçgeni olması gerekir. Ortik üçgenin özelliğinden; $$\dfrac{h_{1}\cdot h_{2}\cdot h_{3}}{A(OPR)}=Ç(ABC)$$ sağlanmalı. $$\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert OP \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert PC \vert \cdot \sqrt{2} \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\vert OA\vert \cdot \sqrt{2}=\sqrt{2a^2+2b^2}=Ç(ABC)=6 \Rightarrow a^2+b^2=18$$

[Dogukan6336]

17.

Yanıt : E

$\dfrac {1+n+n^2+...+n^{10}} {n+10} = \dfrac {n^{11}-1} {(n+10)(n-1)}$ olur. Şimdi bölme yapalım.

$n^{11}-1 = (n+10)(n-1).Q(x) +an+b$

$a+b=0$

$-(10^{11}+1)=b-10a$

$11b=-(10^{11}+1)=-11.(10^{10}-10^9+10^8-...+1)$

$b=-9090909091$

$\dfrac {9090909091(n-1)} {(n-1)(n+10)}$

$n=9090909081$ ve $n/9 = 1010101009 \equiv 4 (mod 9)$

[Lokman Gökçe]

1.

Yanıt: A

Öncelikle $\sqrt{9-\sqrt{65}}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{9-\sqrt{65}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{18-2\sqrt{65}}$ olup $18=13+5$ ve $65=13\cdot 5$ olduğundan $\sqrt{9-\sqrt{65}}=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{5})$ yazılabilir. Buna göre,

$K=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{5})(\sqrt{13}-\sqrt{5})(9+\sqrt{65})$

$K=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (18+2\sqrt{65})(9+\sqrt{65})$

$K=\sqrt 2\cdot (9^2 - 65^2)=16\sqrt 2$

elde edilir.

[Dogukan6336]

18.

Yanıt : A

$b=2$ alalım ki en küçüğü elde etmeye çalışalım.

$n=2^4 + c^3 + d^2 + 9$

$c=3$ almayı denersek $n^2 \equiv d^2 + 1 (mod 3)$ olur. Soruya göre $3$ ün $n$ yi bölmesi lazım. Ancak $d^2 \equiv 0,1 (mod 3)$ olduğundan bu mümkün değil.

$c=4$ almayı denersek $d^2 \equiv 3 (mod 4)$ olmalı ama bu yine mümkün değil.

$c=5$ için $d^2 \equiv 0 (mod 5)$ olmalı. Bu olabilir. $d=10$ seçersek

$n= 16 + 125 + 100 + 9 = 250 = 5^3.2$

sayısı istenen şartı sağlar. Ve pozitif bölen sayısı $8$ dir. Ancak bu en küçüğü mü ?

$b=3$ alırsak yine aynı şekilde ilerler ve daha büyük sayılar buluruz.

[Lokman Gökçe]

2.

Yanıt: D

$m(\widehat{ABE})=90^\circ$ olacak biçimde $E\in [AD]$ noktasını işaretleyelim. $|AC|=x, |AE|=a=\dfrac{8}{\sqrt 3}, |BE|=y=\dfrac{4}{\sqrt 3}$ ve $|ED|=z=8-\dfrac{8}{\sqrt 3}$ olur. $BCD$ eşkenar üçgen ve $BCDE$ bir kirişler dörtgeni olduğundan Ptolemy Teoremi'nin iyi bilinen bir sonucu olarak $|EC|=b=y+z$ olup $b=8-\dfrac{4}{\sqrt 3}$ tür. Ayrıca, aynı yayı gören çevre açılardan $m(\widehat{BEC})=m(\widehat{BDC})=60^\circ $ dir. Böylece $m(\widehat{AEC})=120^\circ $ olup kosinüs teoreminden $x^2=a^2+b^2+ab$ dir. Değerler yerine yazılırsa $x^2=80$ ve $x=4\sqrt5 $ bulunur.

[tanermeral]

3.soru

[tanermeral]

4.soru

[tanermeral]

7.soru

[tanermeral]

9.soru

[tanermeral]

12.soru