Elementer çözüm de mevcut.
$k=1$ için $\longrightarrow \dfrac{1+2+\ldots+n}{n^2}=\dfrac{\dfrac{n^2+n}{2}}{n^2}$. Bu ifadede $n\rightarrow\infty$ limitinin değeri $\dfrac{1}{2}$ olur.
$k=2$ için $\longrightarrow \dfrac{1^2+2^2+\ldots+n^2}{n^3}=\dfrac{\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3}$. Bu ifadede $n\rightarrow\infty$ limitinin değeri $\dfrac{1}{3}$ olur.
$k=3$ için $\longrightarrow \dfrac{1^3+2^3+\ldots+n^3}{n^4}=\dfrac{\dfrac{n^4+2n^3+n^2}{4}}{n^4}$. Bu ifadede $n\rightarrow\infty$ limitinin değeri $\dfrac{1}{4}$ olur.
Yanıtın $\dfrac{1}{k+1}$ olduğunu hissetmek kolay. Bunu ispatlayalım.
İddia: $k$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $1^k+2^k+\ldots+n^k$ ifadesi $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden bir polinomdur ve başkatsayısı $\dfrac{1}{k+1}$ dir.
Bu iddiayı ispatlarsak yanıtın $\dfrac{1}{k+1}$ olduğunu da ispatlamış oluruz.
$\ell$ pozitif tamsayısı için $1^\ell+2^\ell+\ldots+n^\ell$ ifadesini $\sum i^\ell$ şeklinde gösterelim.
İddianın İspatı: Tümevarımdan faydalanacağız. $k=1,2,3$ için doğruluğunu çözümün başında gösterdik. $1,2,\ldots,k-1$ sayıları için doğru olduğunu varsayalım. $k$ için doğruluğunu ispatlayacağız.
Alt alta $n+1$ adet Binom Açılımı yazıp taraf tarafa toplayalım.
$$(0+1)^{k+1}=1$$
$$(1+1)^{k+1}=1^{k+1}+\binom{k+1}{1}1^k+\ldots+\binom{k+1}{k}1^1+1$$
$$(2+1)^{k+1}=2^{k+1}+\binom{k+1}{1}2^k+\ldots+\binom{k+1}{k}2^1+1$$
$$\cdots$$
$$\left((n-1)+1\right)^{k+1}=(n-1)^{k+1}+\binom{k+1}{1}(n-1)^k+\ldots+\binom{k+1}{k}(n-1)^1+1$$
$$(n+1)^{k+1}=n^{k+1}+\binom{k+1}{1}n^k+\ldots+\binom{k+1}{k}n^1+1$$
Bu $n+1$ adet açılımı taraf tarafa toplarsak,
$$(n+1)^{k+1}+\sum i^{k+1}=\sum i^{k+1}+\binom{k+1}{1}\sum i^k+\binom{k+1}{2}\sum i^{k-1}+\ldots+\binom{k+1}{k}\sum i^1+n+1$$
$$\Longrightarrow (n+1)^{k+1}=\binom{k+1}{1}\sum i^k+\binom{k+1}{2}\sum i^{k-1}+\ldots+\binom{k+1}{k}\sum i^1+n+1$$
Son eşitlikte $\sum i^k$ ifadesini yalnız bırakırsak,
$$\sum i^k=\dfrac{(n+1)^{k+1}-\left(\binom{k+1}{2}\sum i^{k-1}+\binom{k+1}{3}\sum i^{k-1}+\ldots+\binom{k+1}{k}\sum i^1+n+1\right)}{k+1}$$
olduğunu buluruz.
$(n+1)^{k+1}$ ifadesinin $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden polinom olduğunu, başkatsayısının da $1$ olduğunu Binom Açılımından biliyoruz.
$\binom{k+1}{2}, \binom{k+1}{3}, \ldots, \binom{k+1}{k}$ ifadelerinin sabit sayı olduğunu da biliyoruz. O halde tümevarım varsayımımızdan, eşitliğin sağ tarafının pay kısmında parantezin içi $n$ ye bağlı $k$. dereceden polinomdur.
O halde eşitliğin sağ tarafında pay kısmının tümü $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden polinomdur, başkatsayısı da $1$ dir. Yani eşitliğin sağ tarafı, payda ile birlikte, $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden polinomdur. Başkatsayısı da $\dfrac{1}{k+1}$ dir. Bu da bize $\sum i^k=1^k+2^k+\ldots n^k$ ifadesinin, $n$ ye bağlı, başkatsayısı $\dfrac{1}{k+1}$ olan $k+1$. derece polinom olduğunu gösterir. $\blacksquare$