Eşitsizlik 198

[ArtOfMathSolving]

$a,b,c \in \mathbb{R^{+}}, a+b+c=3$ $\text{olmak üzere,}$

$\dfrac{b^2c+a^2c}{a^2b+2b^2c+2a^2c}+\dfrac{b^2a+c^2a}{c^2b+2b^2a+2c^2a}+\dfrac{a^2b+b^2c}{b^2a+2a^2b+2b^2c} \ge \dfrac{6}{5}$

$\text{olduğunu gösteriniz.}$
                                                                                                                                                                                                       $\text{(ArtOfMathSolving)}$

[ArtOfMathSolving]

Jensen kullanalım, $f(t)=\dfrac{t}{S-t}$ ve $ S=2(a^2b+b^2c+c^2)$ alalım.$f'=\dfrac{S}{(S-t)^2}\ge 0$ olduğundan  $f:$ $\{0,S\}$ aralığında kesin konveks fonksiyondur. Yerine yazalım.

$f\left( \dfrac {2a^{2}b+2b^{2}c+2c^{2}a} {3}\right) \leq \dfrac {f\left( 2a^{2}b\right) +f\left( 2b^{2}c\right) +f\left( 2c^{2}a\right) } {3}$

$\Rightarrow \dfrac{2(a^2b+b^2c+c^2a)}{S-\dfrac{2a^2b+2b^2c+2c^2a}{3}}\le \dfrac{\dfrac{2a^2b}{S-2a^2b}+\dfrac{2b^2c}{S-2b^2c}+\dfrac{2c^2a}{S-2c^2a}}{3} \Rightarrow \dfrac{6}{5} \le \dfrac{b^2c+a^2c}{a^2b+2b^2c+2a^2c}+\dfrac{b^2a+c^2a}{c^2b+2b^2a+2c^2a}+\dfrac{a^2b+b^2c}{b^2a+2a^2b+2b^2c} $

Bulunur ve İspat biter.$\spadesuit$