Tübitak Genç Takım Seçme 2013 Soru 7

[mehmetutku]

Konveks bir $ABCD$ dörtgeninde köşegenler $E$ noktasında kesişiyor. $BE=ED\sqrt{2}$ ve $\angle BEC=45^\circ$ dir. $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $F$ olsun. $P$ noktası da $BFD$ üçgeninin çevrel çemberi ile $DC$ doğrusunun ikinci kesişim noktası olsun. Buna göre $\angle APD$ yi bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)

[ERhan ERdoğan]

$B$ den $AC$ ye indirilen dikmenin ayağı $H$ olsun. Bu durumda $|BH|=|HE|=|ED|$ ve  $A,B,F,H$ çembersel olur. $C$ noktasının $(ABFH)$ çemberine göre kuvvetinden $$|CF|\cdot|CB| = |CH|\cdot|CA| \tag{1}$$ olur. Diğer taratan $C$ nin $(BFPD)$ çemberine göre kuvveti de $$|CF|\cdot|CB|=|CP|\cdot|CD| \tag{2}$$ olduğundan $(1)$ve $(2)$ den $$|CH|\cdot|CA|=|CP|\cdot|CD| \tag{3}$$ bulunur. $(3)$ denklemine göre $A,H,P,D$ noktaları da çemberseldir.
O halde $\angle{APD}=\angle{AHD}=22,5^\circ$ olur.