Varsayalım ki $2n+7$ nin en az $2$ farklı asal böleni olsun. Buradan yalnızca $1$ çözüm bulacağız. Biliyoruz ki $n!-1$ in hiçbir asal böleni $n!$ in bir asal böleni olamaz. O zaman $n!-1$ in her asal böleni $n$ den büyük olmalı. O zaman $2n+7$ nin de hiçbir asal böleni $n$ den küçük veya eşit olamaz. O zaman $2n+7$ nin en az iki farklı asal böleni olduğunu kabul etmiştik. O halde $2n+7$ sayısı da $(n+1)^2$ den büyük olmalı. O zaman $6$ $>$ $n^2$ olmalı. $n$ sayısı $1$ veya $2$ olmalı. Yerine yazılıp bakılırsa yalnızca $n=1$ için sağladığı görülür.
O zaman ikinci durumda $2n+7$ asal bir sayı olmalıdır. O zaman $2n+7$ $=$ $p$ ve $p$ $>$ $7$ diyelim. $n$ $=$ $\dfrac{p-7}{2}$ olur. Buradan $p$ $|$ $($$\dfrac{p-7}{2}$$)$$!$ $-1$ elde edilir. Burada $(p-1)!$ $=$ $-1$ $\text{(mod $p$)}$ olduğunu kullanarak $p$ sayısını $4k+1$ ve $4k+3$ değerleri için inceleyerek $17$ ve $23$ buluruz. Buradan $n$ sayısının $5$ ve $8$ olabileceğini buluruz.
Cevap: $n$ $=$ $1,5,8$ olabilir.
