Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 08

[mehmetutku]

Başlangıçta masa üzerinde her biri $51$ gram süt içeren birkaç bardak bulunuyor. Bir kedi her işlemde önce masadaki her bardaktan $3$ gram süt içiyor, daha sonra bir bardak alıp bu bardaktaki sütü diğer bardaklara eşit olarak dağıtıyor ve boş bardağı masadan atıyor. Birkaç işlem sonucunda masada tek bir bardak kalıyor. Bu son bardakta yine $51$ gram süt bulunuyorsa kedi toplamda kaç gram süt içmiştir?

$\textbf{a)}\ 1530 \qquad\textbf{b)}\ 1581  \qquad\textbf{c)}\ 1632 \qquad\textbf{d)}\ 1683 \qquad\textbf{e)}\ 1734$

[KereMath]

ilk başta toplam 51k gram sütümüz vardır.Kedimiz ilk adımda 3k 2.adımda 3(k-1) ....son adımda 6 gram  süt içmiştir.yani kedimiz toplamda 3.(k(k+1)/2-1)
gram süt içmiştir.en son elimizde 51 gram süt kaldıysa 3.(k(k+1)/2-1)+51=51k olmalıdır.Bu denklemi düzenlersek k²-33k+32=0 olur (k-32)(k-1)=0   k=32 ise kedi toplamda (32*33/2-1)*3=1581 gram süt içmiştir.

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Cevap: $1581$.

Bardak sayısı $n$ olsun. Toplam içilen suyu iki farklı biçmde hesaplayalım: $51 \times(n-1)$ ve $3(n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2)$. O zaman $51(n-1)=3\left(\frac{n(n+1)}{2}-1\right)$ ve buradan $n^2-33 n+32=0$. Buradan $n=1$ ve $n=32$ değerlerini elde ediyoruz. $n>1$ olma zorundadır. $n=32$ sorudaki koşulları sağlıyor ve cevap $51 \cdot 31=1581$ dir.

Kaynak: Tübitak 24. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2016