Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 28

[geo]

$a_{2001} = 2002$ ve $0\leq k \leq 2000$ için $a_k = -k - 1$ ise, $x^{2002} + a_{2001}x^{2001} + a_{2000}x^{2000} + \cdots + a_1x + a_0$ polinomunun kaç pozitif kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1001
\qquad\textbf{e)}\ 2002
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$P(x) = x^{2002} + 2002x^{2001} - 2001x^{2000} - \cdots - 2x - 1$ polinomunun katsayılarının işaretlerini sırasıyla yazalım:
$++--\dots-$

Descartes'ın İşaret Kuralı gereğince $P(x)$ in pozitif gerçel kök sayısı $+,-$ ya da $-,+$ gibi işaret değişimlerinin sayısı kadar ya da onun çift sayı eksiği kadardır.
Bu durumda $P(x)$ için pozitif kök sayısı $1$ olmalıdır.

Kaynak:
AoPS
Wikipedia
Vikipedi
Cut The Knot

[geo]

$P(0)=-1$ ve yeterince büyük $k$ değerleri için $P(k)>0$ olacaktır. Bu durumda, $0<r<k$ ve $P(r)=0$ olacak şekilde en az bir $r$ gerçel sayısı vardır.
$P(x)=(x-r)Q(x)$ olsun.

$\begin{array}{lcl}
P(x) &=& x^{2002} + 2002x^{2001} - 2001x^{2000} - \cdots - 2x - 1\\
&=& (x-r)(x^{2001}+(r+2002)x^{2000}+(r^2+2002r-2001)x^{1999} + (r^3+2002r^2-2001r-2000)x^{1998} \\
& & + \ldots + (r^{2000}+2002r^{1999}-2001r^{1998}-\ldots -4r-3)x \\ && +(r^{2001}+2002r^{2000}-2001r^{1999}-\ldots -4r^2-3r-2))
\end{array}
$

$r^{2002}+2002r^{2001}-2001r^{2000}-\ldots -2r-1=0$ olduğu için $r^{2001}(r+2002)=2001r^{2000}+\ldots +2r+1$, dolayısıyla $r+2002>0$. Benzer şekilde $Q(x)$ in tüm katsayıları pozitif olacaktır.
Tüm katsayıları pozitif olan bir polinomun pozitif kökü olamayacağı için $Q(x)$ in pozitif kökü yoktur. Dolayısıyla $P(x)$ in sadece bir pozitif kökü vardır.