Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı, $|CD|=|BC|$ olacak biçimde $C$ noktasının ötesindeki bir $D$ noktasına uzatılıyor. $[CA]$ kenarı ise, $|AE|=2|CA|$ olacak biçimde $A$ noktasının ötesindeki bir $E$ noktasına uzatılıyor. $|AD|=|BE|$ ise, $ABC$ nin bir dik üçgen olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

$A$ noktası $EBD$ üçgeninin ağırlık merkezidir. $DA$ doğrusu bir kenarortay olacağından $[EB]$ kenarının orta noktasından geçer. Bu orta noktaya $F$ diyelim. $|BF|=|FE|$ dir. Ağrılık merkezi özelliğinden $|FA|=\dfrac{|AD|}{2}$ dir. Ayrıca $|AD|=|BE|$ verildiğinden $|BF|=|FE|=|AD|$ olup $EAB$ bir dik üçgendir. Dolayısıyla $ABC$ bir dik üçgendir.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$D$ noktasından $AC$ ye paralel çizelim ve $AB$ doğrusu ile kesiştirelim. Bu noktaya $F$ diyelim. $|BA|=|AF|$ olur. $AC//FD$ olduğundan $2|AC|=|FD|$ olur. Dolayısıyla $|AE|=|FD|$ olur  ve $AEFD$ bir paralelkenardır. $|BE|=|AD|=|EF|$ olur. Yani $BEF$ üçgeni ikizkenardır ve $|BA|=|AF|$ olduğundan $BA\perp EA$  olur. Buradan $ABC$ üçgeninin dik üçgen olduğunu görürüz.