Winchester Kardeşler'in Şeytan'la İmtihanı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (Lokman Gökçe): Bazen iyi, bazen kötü işler yaparak sorun çıkaran Winchester kardeşler, Lucifer tarafından ziyaret edilir. Lucifer şöyle der: ''İyilik ya da kötülük yapmak için $10$ olayla karşılaşacaksınız. Bunlardan $5$ tanesinde iyilik, $5$ tanesinde de kötülük yapmalısınız. Herhangi bir anda yaptığınız kötülüklerin sayısı, iyiliklerin sayısını geçerse gözünüzün yaşına bakmadan sizi de yanımda Cehenneme götürürüm. Diğer durumlarda yaşamanıza izin veririm''. Bu tehdit üzerine Winchester kardeşler karşılaştıkları ilk $3$ olayda iyilik yaparlar. (Ancak arka arkaya $4$ kötülük yapsalar Cehenneme giderler). Lucifer'in yanına gitmek istemeyen Winchester kardeşler kalan olayları kaç farklı yolla sonuçlandırabilirler?

NOT: Eğer Winchester kardeşler $10$ olayda en baştan itibaren iyilik-kötülük dengesi bakımından serbest hareket ederek $5$ iyilik, $5$ de kötülük yapsalar (elbette herhangi bir andaki iyiliklerin sayısı, kötülüklerin sayısından az olmamak üzere) sorunun cevabı $5$. Catalan sayısı olan $C_5=42$ ye eşit olurdu.

[alpha]

Winchester kardeşler sonraki  3 olayda ne yaparsa yapsınlar kötülüklerin sayısı iyiliklerin sayısını geçmez.Şimdi biz bu 3 hamleyi inceleyelim, iyilikleri $I$ kötülükleri $K$ ile gösterelim:

$\bullet$İlk Durum: Hepsinde kötülük yaparlar ve bu tek şekilde yapılır.
Bu durumda kalan olaylar için iyilik ve kötülük sayıları eşitlenir ve 2 iyilik 2 kötülük hakları kalır.
Kalan olaylarda yapabilecekleri farklı olayların sayısı$C_2$'ye yani 2'ye eşittir. Buradan $2.1=2$ durum gelir. Örnek durum:  $IIIKKKIKIK$

$\bullet$İkinci Durum: 2 iyilik 1 kötülük yaparlar ve bu $\dfrac{3!}{2!}=3$ farklı şekilde yapabilirler.Geriye sadece kötülük hakları kalır ve bunu da tek şekilde yaparlar. Buradan $3.1=3$ durum gelir. Örnek durum:  $IIIKIIKKKK$

$\bullet$Üçüncü ve Son Durum : 2 kötülük 1 iyilik yaparlar ve bu $\dfrac{3!}{2!}=3$ farklı şekilde yapabilirler.Kalan olaylarda son kalan iyiliklerini hangi olaylarda yapabileceklerine bakarsak sadece son olayda yapamazlar buradan da $3$ durum gelir.Yani buradan $3.3=9$ durum gelir. Örnek durum: $IIIKIKKKIK$

Yani toplam $9+3+2=14$ farklı şekilde sonuçlandırılabilir bütün olaylar.