Tübitak Lise Takım Seçme 2008 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$x^{3}-ax^{2}+bx-c=0$ denkleminin bütün köklerinin pozitif gerçel sayılar olmasını sağlayan $a,b,c$ gerçel sayıları için $$ \dfrac{1+a+b+c}{3+2a+b}-\dfrac{c}{b}$$ ifadesinin en küçük değerini bulunuz.

[MATSEVER 27]

Biz ifadenin $\ge \dfrac{1}{3}$ olduğunu gösterelim. $a = x + y + z ,b = xy + yz + zx,c = xyz$ olduğunu Vieta Formüllerinden biliyoruz. O halde ispatlamamız gereken şey $ (xy + yz + xz)(x + y + z) + 2(xy + yz + zx)^2 \geq 9xyz + 6xyz(x + y + z)$ idir. Bunu da $x$ pozitif olduğundan $A.G.O$ yaparak kolayca elde edebiliriz. Eşitlik $x=y=z$ için sağlanır. Yanıt $\dfrac{1}{3}.$