$k\in {{\mathbb Z}}^+$ olmak üzere; $y=kx^2$ değeri ile fonksiyonel denklemi tekrar yazalım. $f\left(\left(k+1\right)x\right)=f\left(x\right)+f\left(kx\right)+2kx^2$. $f(kx)$ dizisinin genel terimi $$f\left(kx\right)=kf\left(x\right)+k\left(k-1\right)x^2 \tag{1}$$ olacaktır. ($k=1,2,\dots k-1$ değerleri için denklemleri alt alta toplayın). $x=1$ değeri için $$f\left(k\right)=kf\left(1\right)+k^2-k \tag{2}$$ elde etmiş olduk. Yani en azından tam sayılar da $f$ nin davranışını belirledik. Tüm pozitif tam sayılarda bu şekilde davranan bir fonksiyon, pozitif rasyonel sayılarda da bu şekilde davranır mı? Hislerimiz evet diyor; ama matematiksel olarak henüz bu yargıya varamıyoruz. Her rasyonel sayı iki tam sayının bölümü şeklinde yazılabileceği için $m\in {{\mathbb N}}_0$ ve $k\in {{\mathbb N}}^+$ için $x=\dfrac{m}{k}$ değerini $(1)$ numaralı bağıntıda yerine yazarsak $f\left(m\right)=kf\left(\dfrac{m}{k}\right)+m^2-\dfrac{m^2}{k}$ elde edilir. $m$ tam sayı olduğu için $f(m)$ değerini $(2)$ den hesaplayabiliriz. $$f\left(m\right)=mf\left(1\right)+m^2-m=kf\left(\dfrac{m}{k}\right)+m^2-\dfrac{m^2}{k}.$$ Bu durumda $f\left(\dfrac{m}{k}\right)={\left(\dfrac{m}{k}\right)}^2-\dfrac{m}{k}+f\left(1\right)\dfrac{m}{k}$ elde edilir. $x=\dfrac{m}{k}$ olduğuna göre her $x\in {{\mathbb Q}}^+$ için $f\left(x\right)=x^2-x+f\left(1\right)x$ elde edilir. $f\left(1\right)=C\in {{\mathbb Q}}^+$ için $$f\left(x\right)=x^2-x+Cx$$ elde edilir.
