Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 2

[Arman]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $abc=1$ , $a+b+c=5$ ve

$$(ab+2a+2b-9)(bc+2b+2c-9)(ca+2c+2a-9)\ge0$$

koşullarını sağlamak üzere,

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$

sayısının en küçük değerini bulunuz

[Metin Can Aydemir]

Genelliği bozmadan $a,b,c$'den en büyüğü $a$ olsun. $abc=1$ ve $a+b+c=5$ olduğundan $5> a > 1$ olmalı. Verilen tüm ifadeleri $a$ cinsinden yazalım. $bc=\dfrac{1}{a}$ ve $b+c=5-a$ olduğundan eşitsizlik, $$(b(a+2)+(2a-9))(c(a+2)+(2a-9))(bc+2(b+c)-9)=(bc(a+2)^2+(b+c)(2a-9)(a+2)+(2a-9)^2)(\dfrac{1}{a}+1-2a)\geq 0$$ $$\Rightarrow (\dfrac{(a+2)^2}{a}+(5-a)(2a-9)(a+2)+(2a-9)^2)(\dfrac{1+a-2a^2}{a})\geq 0$$ olur. İfadeyi düzenlersek, $$\Rightarrow \dfrac{1}{a^2}\cdot (a^2-4a+1)(2a^2-11a-4)(2a+1)(a-1)\geq 0 $$ $a > 1$ olduğundan $\dfrac{1}{a^2}(2a+1)(a-1)$ ifadesi pozitiftir. $$\Rightarrow (a^2-4a+1)(2a^2-11a-4)\geq 0$$ olmalı. Bu ifadenin kökleri; $(\dfrac{11-3\sqrt{17}}{4})< (2-\sqrt{3})<(2+\sqrt{3})<(\dfrac{11+3\sqrt{17}}{4})$'dür. Bu köklerle ifadenin pozitif negatif tablosunu yaparsak $a\in (-\infty , \dfrac{11-3\sqrt{17}}{4}]\cup [(2-\sqrt{3}),(2+\sqrt{3})] \cup [\dfrac{11+3\sqrt{17}}{4}, \infty)$ olur. Fakat $1<a<5$ olduğundan $a\in (1,2+\sqrt{3}]$ olmalıdır.

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{1}{a}+a(5-a)$'dir. $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+a(5-a)=\dfrac{-a^3+5a^2-5a+1}{a}+5=\dfrac{(a-1)((2+\sqrt{3}-a))(a-(2-\sqrt{3}))}{a}+5\geq 5$$ olur. Yani en küçük değer $5$'dir. Eşitlik durumu, $(a,b,c)=(2+\sqrt{3}, \dfrac{3+\sqrt{3}-\sqrt{4+10\sqrt{3}}}{2}, \dfrac{3+\sqrt{3}+\sqrt{4+10\sqrt{3}}}{2})$'dir.

[YavuzSelim]

   

     $2a+2b$ yerine $10-2c$ ve $ab$ yerine de $\dfrac{1}{c}$ yazarsak ifademiz,

     $(\dfrac{1}{c}+1-2c)(\dfrac{1}{a}+1-2a)(\dfrac{1}{b}+1-2b)\ge 0$ olur. Payda eşitlemelerini yapıp $abc=1$ yazarsak,

     $(1+c-2c^2)(1+a-2a^2)(1+b-2b^2)\ge 0$ elde ederiz. İfadeyi çarpanlara ayırdığımızda,

     $(2a+1)(2b+1)(2c+1)(1-a)(1-b)(1-c)\ge 0$ olur. İfadeyi açıp bize soruda verilen eşitlikleri yerine yazarsak,

     $[19+4(ab+bc+ca)][ab+bc+ca-5]\ge 0$ elde ederiz. Bu ifadenin $0$ dan büyük veya eşit olması için $ab+bc+ca\ge 5$ olmak zorundadır.

     $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\ge 5$

      Eşitlik durumu $(a,b,c)=(1,2+\sqrt{3},2-\sqrt{3})$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Türkiye EGMO TST 2019 #2