Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 27

[geo]

Bir kasanın beş kilidine ait anahtarlar çoğaltılarak sekiz kişiye, bu sekiz kişiden herhangi beşinin birlikte kasayı açmalarını olanaklı kılacak biçimde dağıtılacaktır. Anahtarların toplam sayısı en az ne olmalıdır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 20
\qquad\textbf{c)}\ 22
\qquad\textbf{d)}\ 24
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Anahtarlardan her biri en az $4$ kişiye dağıtılmalı. Aksi takdirde en az $5$ kişi de anahtarlardan biri olmayacak. Bu durumda kasayı açamayacaklar. Buna göre en az $5\times 4=20$ anahtar olmalı.

$20$ anahtarlı dağılıma, sadece $4$ kişiye tüm anahtarların verildiği dağılımı örnek olarak verebiliriz.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
A_1 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_2 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_3 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_4 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_5 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
\end{array}$$