Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 1994 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 08, 2013, 04:59:46 ös
-
$a^{2}+b^{2}+3$ sayısının $a\cdot b$ ile bölünebilmesini sağlayan tüm $(a,b)$ tam sayı ikililerini bulunuz.
-
İfadenin tam sayı olması istendiğinden
$$a^2+b^2+3=abc$$ $c\in \mathbb Z$ olmalıdır.
Bu soruyu çözerken $c$ herhangi bir tam sayı olduğu için genelliği bozmadan pozitif tam sayılarda çözümleri bulursak geri kalan çözümleri bulmak kolaydır.
Bu soruyu $\dfrac{a^2+b^2+3}{ab}\in \mathbb Z$ olarak düşünebiliriz. $a=b$ olduğunu varsayarsak $2+\dfrac{3}{a^2}$ gelir ve $a=1$ olmalıdır. $a=b=1$ yerine koyulursa $c=5$ elde edilir.
Genelliği bozmadan $a>b$ kabul edebiliriz.
$$a^2-abc+(b^2+3)=0$$ denkleminin diğer çözümü $x$ olsun.
$$a+x=bc$$ $$ax=b^2+3$$
elde edilir. Buradan $x$ in de tam sayı olacağı görülür.
Genelliği bozmadan $x\ge a$ olsun. O halde
$$a^2+3>b^2+3=ax\ge a^2$$ $a\ge3$ için
$$a^2>b^2\ge a^2-3 >(a-1)^2$$ olduğundan dolayı çözüm yoktur.
$a=2$ için $a>b$ kabulünden dolayı olası tek çözüm $(2,1)$ dir ki sağlar $c=4$ bulunur. Geri kalan çözümler ise bunların işaretlerinin ve $a$ ile $b$ nin değerlerinin yer değiştirmeleriyle gelecektir.
$(1,1)$ ikilisinden yararlanarak $(1,1,5)$ $(-1,1,-5)$ ,$(1,-1,-5)$ , $(-1,-1,5)$ çözümü gelir.
$(2,1)$ ikilisinden yararlanarak $(2,1,4)$ , $(1,2,4)$ , $(2,-1,-4)$ , $(-1,2,-4)$ , $(-2,1,-4)$ , $(1,-2,-4)$ çözümlerini söyleriz. Bu denklemin $10$ çözümü vardır.