-
SORULARI ÇÖZEN VAR MI? ÇÖZDÜYSENİZ ÇÖZÜMLERİ BERABER PAYLAŞALIM BU KISIMDA
Edit: Soruların pdf dosyası ilk mesaja eklenmiştir. (Scarface)
-
Bu seneki sorular kolay olmuş gibi. A kitapçığına göre karışık başlıyorum ben.
22.
Yanıt : C
$x + \dfrac {1} {x} + 2 = \dfrac {2x+1} {x} + x $ şeklinde yazılıp $AO \geq GO$ uygulanırsa
$\dfrac {2x+1} {x} + x \geq 2\sqrt {2x+1}$
Elde edilir. O zaman
$\dfrac {2x+1} {x} + x + \dfrac {2y+1} {y} + y + \dfrac {2z+1} {z} + z \geq 2(\sqrt {2x+1} + \sqrt {2y+1}+\sqrt {2z+1})$
Eşitlik durumunun sağlanması için $\dfrac {2x+1} {x} = x$ olmalı. Yani $x=y=z$ olmalı. Denklem çözülürse $x=\sqrt {2}+1$ olur. $xyz=x^3=7+5\sqrt {2}$
-
10.
Yanıt : C
$x=1$ in denklemi sağladığı rahatça görülebilir. $a+1+c=3$ ve $a+c=2$ gelir. İfadeyi düzenleyelim
$(a^2 - 4a - c^2)^2 = ((a-2)^2 - c^2 - 4)^2 = ((a-c-2)(a+c-2) - 4)^2 = (-4)^2 = 16$
-
16.
Yanıt : D
$\dfrac {1} {a_{n}^2 + {a_{n}.a_{n+1}}+ a_{n+1}^2} = \dfrac {a_{n+1} - a_{n}} {a_{n+1}^3 - a_{n}^3}$
$a_{n+1}^3 - a_{n}^3 = 1$ ve $a_{0}=0$ olursa
$a_{1} - a_{0}$
$a_{2} - a_{1}$
$.$
$.$
$a_{n+1} - a_{n}$
Toplamı $a_{n+1}$ e eşit olur ve soruda istenen elde edilir. Şimdi $a_{16}$ yı bulmaya çalışalım.
$a_{8}^3 - a_{9}^3=-1$
$a_{9} - a_{10}=-1$
$.$
$.$
$a_{15}^3 - a_{16}^3=-1$
Taraf tarafa toplanırsa
$a_{8}^3 - a_{16}^3=-8$
ve $a_{16} = 2\sqrt[3]{2}$
-
8.
Yanıt : B
Birbirinden farklı hangi $n$ değerleri için eşit onu bulmalıyız. Önce işimizi kolaylaştırmak adına
$\dfrac {n^2+3} {n^2+n-3} = 1 + \dfrac {6-n} {n^2 + n - 3}$
Birbirinden farklı $x$ ve $y$ alalım.
$1+\dfrac {6-x} {x^2 + x - 3} = 1 + \dfrac {6-y} {y^2 + y - 3}$
Denklemini çözmeye çalışacağız. Düzenlenirse
$(y-x)(6x+6y+3 - xy)=0$
İlk çarpan $0$ olamayacağından ikinci çarpan $0$ olmalı.
$xy-6x-6y-3=0$
$(x-6)(y-6)=39$
$39$ un pozitif bölen sayısı $4$ olduğundan $4$ farklı $(x,y)$ sırali ikilisi var bunu çözen. Denklem simetrik olduğundan $(a,b)$ bir çözümse, $(b,a)$ da bir çözümdür. İkisini birden alamayız. Kümeden fazla eleman çıkarmış oluruz. O zaman $4/2=2$ eleman çıkarmalıyız kümeden. $2018-2=2016$ olur.
-
11. Soru
Cevap: D
Öncelikle $OA$ doğrusuna $A$'da dik olan doğruyu çizelim. Bu doğru $y=x$ doğrusunu $P$, $x$ eksenini $R$'de kessin.$ABC$ üçgeninin çevresinin minimum olması için $ABC$'nin $OPR$'nin ortik üçgeni olması gerekir. Ortik üçgenin özelliğinden; $$\dfrac{h_{1}\cdot h_{2}\cdot h_{3}}{A(OPR)}=Ç(ABC)$$ sağlanmalı. $$\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert OP \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert PC \vert \cdot \sqrt{2} \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\vert OA\vert \cdot \sqrt{2}=\sqrt{2a^2+2b^2}=Ç(ABC)=6 \Rightarrow a^2+b^2=18$$
-
17.
Yanıt : E
$\dfrac {1+n+n^2+...+n^{10}} {n+10} = \dfrac {n^{11}-1} {(n+10)(n-1)}$ olur. Şimdi bölme yapalım.
$n^{11}-1 = (n+10)(n-1).Q(x) +an+b$
$a+b=0$
$-(10^{11}+1)=b-10a$
$11b=-(10^{11}+1)=-11.(10^{10}-10^9+10^8-...+1)$
$b=-9090909091$
$\dfrac {9090909091(n-1)} {(n-1)(n+10)}$
$n=9090909081$ ve $n/9 = 1010101009 \equiv 4 (mod 9)$
-
1.
Yanıt: A
Öncelikle $\sqrt{9-\sqrt{65}}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{9-\sqrt{65}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{18-2\sqrt{65}}$ olup $18=13+5$ ve $65=13\cdot 5$ olduğundan $\sqrt{9-\sqrt{65}}=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{5})$ yazılabilir. Buna göre,
$K=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{5})(\sqrt{13}-\sqrt{5})(9+\sqrt{65})$
$K=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (18+2\sqrt{65})(9+\sqrt{65})$
$K=\sqrt 2\cdot (9^2 - 65^2)=16\sqrt 2$
elde edilir.
-
18.
Yanıt : A
$b=2$ alalım ki en küçüğü elde etmeye çalışalım.
$n=2^4 + c^3 + d^2 + 9$
$c=3$ almayı denersek $n^2 \equiv d^2 + 1 (mod 3)$ olur. Soruya göre $3$ ün $n$ yi bölmesi lazım. Ancak $d^2 \equiv 0,1 (mod 3)$ olduğundan bu mümkün değil.
$c=4$ almayı denersek $d^2 \equiv 3 (mod 4)$ olmalı ama bu yine mümkün değil.
$c=5$ için $d^2 \equiv 0 (mod 5)$ olmalı. Bu olabilir. $d=10$ seçersek
$n= 16 + 125 + 100 + 9 = 250 = 5^3.2$
sayısı istenen şartı sağlar. Ve pozitif bölen sayısı $8$ dir. Ancak bu en küçüğü mü ?
$b=3$ alırsak yine aynı şekilde ilerler ve daha büyük sayılar buluruz.
-
2.
Yanıt: D
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6291.0;attach=15127;image)
$m(\widehat{ABE})=90^\circ$ olacak biçimde $E\in [AD]$ noktasını işaretleyelim. $|AC|=x, |AE|=a=\dfrac{8}{\sqrt 3}, |BE|=y=\dfrac{4}{\sqrt 3}$ ve $|ED|=z=8-\dfrac{8}{\sqrt 3}$ olur. $BCD$ eşkenar üçgen ve $BCDE$ bir kirişler dörtgeni olduğundan Ptolemy Teoremi'nin iyi bilinen bir sonucu olarak $|EC|=b=y+z$ olup $b=8-\dfrac{4}{\sqrt 3}$ tür. Ayrıca, aynı yayı gören çevre açılardan $m(\widehat{BEC})=m(\widehat{BDC})=60^\circ $ dir. Böylece $m(\widehat{AEC})=120^\circ $ olup kosinüs teoreminden $x^2=a^2+b^2+ab$ dir. Değerler yerine yazılırsa $x^2=80$ ve $x=4\sqrt5 $ bulunur.
-
3.soru
-
4.soru
-
7.soru
-
9.soru
-
12.soru
-
13.soru
-
15.soru
-
19.soru
-
23.soru
-
18.
Yanıt : A
$b=2$ alalım ki en küçüğü elde etmeye çalışalım.
$n=2^4 + c^3 + d^2 + 9$
$c=3$ almayı denersek $n^2 \equiv d^2 + 1 (mod 3)$ olur. Soruya göre $3$ ün $n$ yi bölmesi lazım. Ancak $d^2 \equiv 0,1 (mod 3)$ olduğundan bu mümkün değil.
$c=4$ almayı denersek $d^2 \equiv 3 (mod 4)$ olmalı ama bu yine mümkün değil.
$c=5$ için $d^2 \equiv 0 (mod 5)$ olmalı. Bu olabilir. $d=10$ seçersek
$n= 16 + 125 + 100 + 9 = 250 = 5^3.2$
sayısı istenen şartı sağlar. Ve pozitif bölen sayısı $8$ dir. Ancak bu en küçüğü mü ?
$b=3$ alırsak yine aynı şekilde ilerler ve daha büyük sayılar buluruz.
Biraz deneme yanılma yöntemiyle çözülmüş gibi geldiği için kendi çözümümü paylaşıyorum.
$b=3$ veya daha büyükleri için yeni sayılar elde edemeyiz çünkü;
$b$ çift olursa $2$ de bir bölen olur fakat bölenlerin sıralamasında $a$ ile $b$ arasında olması gerekirdi. Çelişki
$b$ tek olursa $c$ ve $d$ de tek olmalıdır fakat bu durumda $n$ çift olur fakat bu $b$ nin tek olmasıyla çelişir. Dolayısıyla $b$ sadece $2$ olabilir.
Eğer $c$ çiftse kendisinden önce sadece $2$ böleni olduğundan kendisi $2$ nin bir kuvveti olmalıdır.Eğer $mod4$ de incelersek $d^2\equiv 3(mod4)$ olur. Çelişki. Dolayısıyla $c$ tek ve teklik-çiftlikten $d$ çift olmalı. Bölen sıralamasından $d=2c$ olmalı.Yerine yazarsak $n=25+c^3+4c^2$ bulunur. Buradan $c$'nin $25$ i bölmesi gerektiği gözükür ama $1$ veya $25$ olamaz çünkü bölen sıralaması yanlış olur. Dolayısıyla $c=5$, $d=10$ olmalı.Buradan $n=250$ bulunur ve başka bir $n$ sayısı yoktur. Cevap $8$
-
14.soru